bezwględność w nierówności kwadratowej

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
henryy1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chrzanów
Podziękował: 1 raz

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: henryy1991 » 13 sie 2011, o 23:29

Nie bardzo daje radę z trudniejszymi zadaniami z modułami, a konkretnie nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem:
bardzo bym prosił o rozwiązanie z opisem bo nie wiem gdzie popełniam błędy

\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: piti-n » 13 sie 2011, o 23:41

Musisz sprawdzić kiedy \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), a kiedy \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: kamil13151 » 13 sie 2011, o 23:45

Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)

Obustronnie przez kwadrat mianownika:

\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)

Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\)

\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \le 1}\)

Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ (x^2-4x+3)(x^2-1) \ge -1}\)

Teraz rozwiąż.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26894
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4496 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: Jan Kraszewski » 14 sie 2011, o 00:24

kamil13151 pisze:Obustronnie przez kwadrat mianownika:

\(\displaystyle{ |x^2-4x+3|(x^2-1) \le 1}\)
Czyżby? Uważasz, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-1}\) jest zawsze dodatnie? Poza tym co uważasz za kwadrat mianownika?

henryy1991, jak napiszesz swoje rozwiązanie, to będzie można sprawdzić, gdzie popełniasz błędy (kamil13151 napisał i od razu widać błąd...).

JK

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: fon_nojman » 14 sie 2011, o 09:44

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu pod modułem i wielomianu w mianowniku.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: kamil13151 » 14 sie 2011, o 10:09

Ojej, co za bzdury ja napisałem, to chyba przez późną porę, wybaczcie Nie wiem czemu, ale przyjąłem że po prawej stronie mamy zero, skąd taki pomysł to pojęcia nie mam

Za to zamieszczam pełne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \le 1}\)

Dziedzina. \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -1; 1\right\}}\)

1) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 \ge 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x in (- infty; 1] vee [3;+ infty )}\), pamiętamy również dziedzinę.

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \le 1\\\\ \frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \le 1\\\\ \frac{x-3}{x+1} \le 1\\\\ \frac{x-3}{x+1}- \frac{x+1}{x+1}\le 0\\\\ \frac{-4}{x+1}\le 0\\\\ -4(x+1)\le 0\\\\ x+1 \ge 0\\\\ x \ge -1}\)

Zgodnie z przedziałem i dziedziną rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)

2) Gdy: \(\displaystyle{ x ^{2} -4x+3 < 0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-(x^2-4x+3)}{x^2-1} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^2-4x+3}{x^2-1} \ge -1}\)

\(\displaystyle{ \frac{2x-2}{x+1} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(x+1) \ge 0}\)

Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\), co filtrujemy z przedziałem i dziedziną, więc \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

Tak więc rozwiązaniem ostatecznym jest: \(\displaystyle{ x in (-1;1) vee [3;+ infty )}\)
Ostatnio zmieniony 14 sie 2011, o 12:46 przez kamil13151, łącznie zmieniany 4 razy.

henryy1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chrzanów
Podziękował: 1 raz

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: henryy1991 » 14 sie 2011, o 10:46

-- 14 sie 2011, o 12:13 --

1. przypadek rozumiem bo wyszło mi tak samo, ale w drugim nie wiem dlaczego zmieniłeś tam tak po prostu znak zamiast rozpisać to wszystko??
Nie wiem dlaczego po rozpisaniu wychodzi mi inny wynik.
Wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1} \le 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{-x^2+4x-3}{x^2-1}}\) \(\displaystyle{ - \frac{x^2-1}{x^2-1} \le 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-2x^2+4x-2}{x^2-1} \le 0}\)

\(\displaystyle{ (-2x^2+4x-2)(x^2-1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x^2-1) \le 0}\)

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0}\)

coś takiego mi wychodzi i nie wiem jak do tego poprawnie wykres narysować?? można prosić o pomoc??

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: kamil13151 » 14 sie 2011, o 12:44

Ehh, co się ze mną dzieje, mały błąd z tym był, już poprawiłem wyżej, sorki .

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\ -2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)

Tak więc, zaczynamy od dołu prawej strony, ponieważ współczynnik jest ujemny. Przechodzimy przez 1 i -1, nie odbijamy, ponieważ pierwiastki są nieparzysto-krotne.
Stąd \(\displaystyle{ x in (- infty;-1 ] vee [1;+ infty )}\)

henryy1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 13 sie 2011, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chrzanów
Podziękował: 1 raz

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: henryy1991 » 14 sie 2011, o 12:46

Dobra już wszystko wiem;) Nie wiem czemu ale coś mi się w toku rozumowania poprzestawiało i w wyniku końcowym zamiast szukać części wspólnej to ja to zsumowałem.

Dzięki za pomoc. Zapewne odezwę się tu jeszcze nie raz xD
Podrawiam

-- 17 sie 2011, o 21:31 --

Jeszcze raz rozgrzebie ten temat bo nie wiem wiem jednej rzeczy;/

Patrząc na drugi przypadek: dla którego moduł = \(\displaystyle{ -x^2+4x-3 dla x \in (1;3)}\)

po przekształceniach na końcu mamy postać:

\(\displaystyle{ -2(x-1)^2(x-1)(x+1) \le 0\\\\ -2(x-1)^3(x+1) \le 0}\)

i po narysowaniu parabolki wychodzi że \(\displaystyle{ x \le -1 \vee x \ge 1}\)
po wyszukaniu części wspólnej z założeniem że \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)
wychodzi część wspólna \(\displaystyle{ x \in (1;3)}\)

tak więc dla pierwszego przypadku mamy:

\(\displaystyle{ x \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\)


a dla drugiego:

\(\displaystyle{ \in (1;3)}\)

\(\displaystyle{ TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST: X \in (-1;1) \cup <3; \infty ) ??!!}\)-- 17 sie 2011, o 21:37 --wybaczcie ale nie moge tego zrozumieć?? przecież x spełnia wymagania dla stawianych mu warunków, tzn dla jakich x sciągając moduł zmieniamy znaki, a dla jakich nie i skąd my tam w wyniku mamy przedział (-1;1) zamiast (1;3) bo ten drugi przedział z pierwszego przypadku mi się zgadza i nie mam co do niego zastrzeżeń ale mam problem z tym drugim.

Wszystko wskazuje mi na to że parabole źle rysuję, ale pytanie dlaczego źle??
współczynnik "a" jest ujemny więc parabola ma ramiona w dół które przechodza przez 1 i -1 i zaznaczam odbszar pod osią na lewo od -1 i na prawo od 1, a to zadanie tak wygląda jakby parabola miała isc w górę?? i tutaj mam pytanie czy dobrze to rysuje??

chuckstermajster
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 15:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 23 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: chuckstermajster » 15 wrz 2011, o 00:32

TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!
Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.

kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.

Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)

Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.

melwerto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Pomógł: 1 raz

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: melwerto » 18 wrz 2011, o 11:20

A więc warunki 1 i 2 są dobre tylko suma ich wychodzi \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1\right) \cup \left( 1, \infty \right)}\)

HaveYouMetTed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 270
Rejestracja: 19 wrz 2011, o 17:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 17 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: HaveYouMetTed » 19 wrz 2011, o 18:14

hmm co by tu zrobić żeby się nie narobić...
\(\displaystyle{ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq 1 \\ \frac{|x^2-4x+3|}{x^2-1} \leq \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} \\ \frac{|x^{2}-4x+3|-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-4x+3 \geq 0 <=> x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty) \\ x^{2}-4x+3 \leq 0 <=> x \in (1;3) \\ 1^{o} x \in (- \infty ; 1> \cup <3; + \infty ) \\}\)

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}-4x+3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\ \frac{-4x+4}{x^{2}-1} \leq 0 \\ -4x+4 \geq 0 \wedge x^{2}-1 <0 \\ x \leq 1 \wedge x \in (-1;1) \\ x \in (-1;1) \\}\)

\(\displaystyle{ lub \\ -4x+4 \leq 0 \wedge x^{2}-1 >0 \\ x \geq 1 \wedge x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty ) \\ \ x \in (1; + \infty) \\ czyli \ (1; + \infty) \cup (-1;1) = (-1; + \infty) \backslash \{ 1 \}}\)

\(\displaystyle{ 2^{o} x \in (1;3) \\ \frac{-x^{2}+4x-3-x^{2}+1}{x^{2}-1} \leq 0 \\ \frac{-2x^{2}+4x-2}{x^{2}-1} \leq 0 \\}\)

\(\displaystyle{ -2x^{2}+4x-2<0 <=> x \in R \backslash \{ 1 \} \\ x^{2}-1 >0 <=> x \in (- \infty; -1) \cup (1; + \infty) \\}\)

\(\displaystyle{ [(- \infty; -1) \cup (1; + \infty) ] \cap [R \backslash \{ 1 \} ]=(- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)

lub

\(\displaystyle{ \{ 1 \} \cap (-1;1) = \emptyset}\)


końcowa odpowiedź:
\(\displaystyle{ [(-1; + \infty) \backslash [ R \backslash \{ 1 \} ]] \cup (- \infty; -1) \cup (1; + \infty) = (- \infty; -1) \cup (1; + \infty)}\)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

bezwględność w nierówności kwadratowej

Post autor: kamil13151 » 19 wrz 2011, o 18:23

HaveYouMetTed, źle.
chuckstermajster pisze:
TO DLACZEGO W ROZWIAZANIU JEST:\(\displaystyle{ X \in (-1;1) \cup <3; \infty )}\) ??!!
Moim zdaniem to rozwiązanie jest złe.

kamil13151 do zbioru rozwiązań nie dodał przedziału \(\displaystyle{ (1;3)}\) - czyli wyniku rozwiązania drugiej nierówności.

Jeśli obliczenia kamil13151 są słuszne, to zbiorem rozwiązań będzie każda liczba rzeczywista za wyjątkiem \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\)

Natomiast z całą pewnością mogę powiedzieć, że po podstawieniu \(\displaystyle{ 2}\) nierówność jest spełniona.
Tak jest, zapomniałem przedziału dodać, ale na pewno zbiorem rozwiązania nie będzie \(\displaystyle{ R - \left\{ -1;1\right\}}\).

Także końcowy wynik to: \(\displaystyle{ x \in (-1;1) \vee (1;+ \infty )}\)

Na potwierdzenie moich słów:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28|x^2-4x%2B3|%29%2F%28x^2-1%29%3C%3D1

ODPOWIEDZ