Całka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:06

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{ \mbox{d}x }{x \sqrt{x} } = \left| \begin{array}{cc}x=t^{2}\\ \mbox{d}x = 2t \mbox{d}t \end{array}\right|=\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2}t} 2t \mbox{d}t }=\int_{0}^{1} \frac{2}{t^{2}} \mbox{d}t=2\int_{0}^{1}{t^{-2}} \mbox{d}t=2\left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_{0}^{1}=2 \cdot \left[ \frac{-1}{t} \right]_{0}^{1}=2 \cdot (-1)=-2}\)

Dlaczego nie moge tego tak liczyć?
Ostatnio zmieniony 13 sie 2011, o 17:24 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Znak mnożenia to \cdot. Poza tym, co robi całka w dziale Rachunek różniczkowy?

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 13:08

Poczytaj o całkach niewłaściwych

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:18

Bo pod pierwiastkiem nie może być 0?

Książkowo mówiąc: dlatego, że przedział całkowania jest niewłaściwy, czyli nie można tej całki liczyć na przedziale od 0 tylko trzeba to rozpatrzyć jako granice od 0+ ?

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 13:20

Bo pod pierwiastkiem nie może być 0?
Może być
Książkowo mówiąc: dlatego, że przedział całkowania jest niewłaściwy, czyli nie można tej całki liczyć na przedziale od 0 tylko trzeba to rozpatrzyć jako granice od 0+ ?
Jakby takie rzeczy ludzie pisali w książkach to te książki byłyby mało warte.

Ta, całkę niewłaściwą liczymy sobie z granicą

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:27

Dobra. Ale potrafisz napisać mi dlaczego? Pod pierwiastkiem może być 0, więc już nie wiem jak rozpoznać.
Jakbym nie wiedział jaka to całka tylko dostał do rozwiązania kilka różnych (właściwych i niewłaściwych) to liczyłbym jak powyżej, czyli źle.

No ale w mianowniku już 0 być nie może. Dlatego?

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 13:30

Ale potrafisz napisać mi dlaczego?
Dlaczego co?
Pod pierwiastkiem może być 0, więc już nie wiem jak rozpoznać.
rozpoznać co?
Jakbym nie wiedział jaka to całka tylko dostał do rozwiązania kilka różnych (właściwych i niewłaściwych) to liczyłbym jak powyżej, czyli źle.
Wystarczy zerknąć na def całki niewłaściwej.
No ale w mianowniku już 0 być nie może. Dlatego?
dlatego co?

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:36

Trzeba przyznać, że ciężko się z Tobą dogadać. Wystarczy zerknąć na wcześniejsze posty i kontekst całej rozmowy.

"Dlaczego?" - skrót od "Dlaczego to jest całka niewłaściwa, jak to rozpoznać"
"Jak rozpoznać?" - w domyśle "Jak rozpoznać, że to całka niewłaściwa", bo przecież taką cały czas rozpatrujemy.

Jak masz znowu bez sensu odpowiadać to lepiej tego nie rób, może ktoś inny będzie wiedział i mi odpisze

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 13:41

"Dlaczego?" - skrót od "Dlaczego to jest całka niewłaściwa, jak to rozpoznać"
"Jak rozpoznać?" - w domyśle "Jak rozpoznać, że to całka niewłaściwa", bo przecież taką cały czas rozpatrujemy.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Ca%C5%82ka ... %C5%9Bciwa

Wystarczy z google skorzystać...

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:48

Niestety nie wystarczy. Po to jest to forum.
Książka albo strona może być źle zrozumiana przez czytelnika lub inaczej zinterpretowana. Co innego gdy wątpliwości rozwieje kilka osób na forum.
Wtedy albo wiem, że dobrze myśle albo ktoś wskazuje błąd w moim rozumowaniu i dzieli się się swoją wiedzą i doświadczeniem.

O ile taką wiedze posiada...

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Całka oznaczona

Post autor: bartek118 » 13 sie 2011, o 13:50

Po prostu zauważ, że ta funkcja jest nieograniczona w podanym przedziale. Dlatego trzeba to liczyć trochę inaczej. Zauważ, że jak "obetniemy" tę funkcję do dowolnego przedziału \(\displaystyle{ \left[ \varepsilon, 1 \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), to już będzie ograniczona. Taką całkę nazywamy niewłaściwą. I liczymy to przez przejście do granicy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{x \sqrt{x} } = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{dx}{x \sqrt{x} }}\)

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 13:51

No to czego nie rozumiesz w tym linku? Zamiast żalić się może zadasz jakieś konkretne pytanie? Na poprzednie pytania odpowiedzi masz w linku.
O ile taką wiedze posiada...
Nie posiadam. Za darmo pomoc dostaje i jeszcze się burzy No cudowne. Ale nic. Wracamy do tematu.

Czego konkretnie nie wiesz?
Po prostu zauważ, że ta funkcja jest nieograniczona w podanym przedziale.
hmmmm zerknijmy do linku.
rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.
Wow. Bo to ktoś musi mi napisać, bo na wiki nie łaska zerknąć

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 13:59

@bartek118
Ok. Niby wszystko jasne.
Jednak, żeby wiedzieć czy jest ograniczona w danym przedziale to najlepiej byłoby narysować wykres? Bo chodzi cały czas o tą ograniczoność chyba. Wiem co to znaczy, ale po samym wzorze funkcji tego nie widze.

miodzio1988

Całka oznaczona

Post autor: miodzio1988 » 13 sie 2011, o 14:00

Jednak, żeby wiedzieć czy jest ograniczona w danym przedziale to najlepiej byłoby narysować wykres?
Tak. Najlepiej jest narysować wykres

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Całka oznaczona

Post autor: bartek118 » 13 sie 2011, o 14:01

Warto popatrzeć na granice tej funkcji na krańcach przedziału. W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x \sqrt{x}} = +\infty}\)

Czyli funkcja jest nieograniczona "przy 0". Dlatego właśnie z granicą przy całce przeszliśmy przy 0, a nie przy 1

gilus0022
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 20 maja 2011, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 7 razy

Całka oznaczona

Post autor: gilus0022 » 13 sie 2011, o 14:05

@miodzio1988
W końcu konkretna odpowiedź.
Sorry, ale jednak dalej tego nie widze. Czyli np. funkcja \(\displaystyle{ y=x^{2}}\) albo \(\displaystyle{ y=x}\) też są nieograniczone?

ODPOWIEDZ