Twierdzenie i szereg Taylora

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Twierdzenie i szereg Taylora

Post autor: bartek118 » 13 sie 2011, o 10:34

Twierdzenie Taylora

Przy pomocy pochodnych wyższych rzędów możemy zapisać uogólnienie twierdzenia Lagrange'a, zwane twierdzeniem Taylora:

Twierdzenie. Niech \(\displaystyle{ f: U \longrightarrow \mathbb{R}}\) będzie funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ U}\) otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Załóżmy także, że \(\displaystyle{ \left[ a,b \right] \subseteq U}\). Wtedy istnieje punkt \(\displaystyle{ c \in (a,b)}\) taki, że zachodzi równość:

\(\displaystyle{ f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^{n}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}\).

Szkic dowodu.
Ukryta treść:    
Wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) występujący w twierdzeniu nazywa się wielomianem Taylora, natomiast wyrażenie
\(\displaystyle{ R_{n}(b,a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}}\)
nazywamy n-tą resztą w postaci Lagrange'a.

Równość z twierdzenia Taylora często zapisuje się w postaci
\(\displaystyle{ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+R_{n}(x,a)}\).

Fakt. Przy założeniach z twierdzenia Taylora zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a} \frac{R_{n}(x,a)}{(x-a)^{n}}=0}\)

Dowód.
Ukryta treść:    
Z powyższego faktu wynika, że n-ta reszta dąży szybciej do zera niż n-ta potęga przyrostu \(\displaystyle{ (x-a)}\). Zatem twierdzenie Taylora pozawala wyrazić wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w postaci wielomianu i reszty, która bardzo często jest bardzo mała.

Jeżeli stosujemy twierdzenie Taylora na odcinku \(\displaystyle{ \left[ 0,x \right]}\), to otrzymaną równość nazywa się wzorem Maclaurina.

Przykład zastosowania.
Udowodnimy znaną nierówność \(\displaystyle{ e^{x}>1+x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).
Rozwińmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=e^{x}}\) we wzór Maclaurina dla \(\displaystyle{ n=1}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ f'(x)=f''(x)=e^{x}}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=1=f'(0)}\).
Zatem
\(\displaystyle{ e^{x}=1+x+ \frac{x^{2}}{2} e^{c}}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in (0, x)}\).
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{2} e^{c} >0}\).
A zatem \(\displaystyle{ e^{x}>1+x}\).

Szereg Taylora

Rozpatrzmy funkcję gładką \(\displaystyle{ f: (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}}\). Wybieramy punkt \(\displaystyle{ x_{0}\in (a,b)}\) i zapisujemy wzór Taylora:

\(\displaystyle{ f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x,x_{0})}\).

Przypuśćmy, że dla pewnego punktu \(\displaystyle{ x}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} R_{n}(x,x_{0}) =0}\). Oznacza to, że szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\cdot (x-x_{0})^{n}}\)

jest zbieżny i jego sumą jest liczba \(\displaystyle{ f(x)}\).

Powyższy szereg nazywamy szeregiem Taylora. Jest on przykładem szeregu potęgowego i można go utworzyć dla dowolnej funkcji gładkiej \(\displaystyle{ f}\). Podamy dwa warunki wystarczające, aby \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} R_{n}(x,x_{0}) =0}\).

1. Jeżeli wszystkie pochodne funkcji \(\displaystyle{ f}\) są wspólnie ograniczone na odcinku \(\displaystyle{ (a,b)}\), to dla każdego \(\displaystyle{ x\in (a,b)}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} R_{n}(x,x_{0}) =0}\).

Dowód.
Ukryta treść:    
2. Jeżeli istnieją \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ r'}\), takie że nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{r^{n}\cdot n!}\cdot \sup_{x\in (a,b)} \left| f^{(n)}(x) \right| \le r'}\), \(\displaystyle{ n=0,1,2,...}\),

jest spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x\in (a,b)}\) spełniającego zależność \(\displaystyle{ \left| x-x_{0}\right| < \frac{1}{r}}\), to zachodzi równość \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} R_{n}(x,x_{0}) =0}\).

Dowód.
Ukryta treść:    
Przykłady.

\(\displaystyle{ e^{x}=1+x+ \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!}+...}\)

\(\displaystyle{ \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ...}\)

\(\displaystyle{ \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ...}\)
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 09:07 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ