iloczyny skalarne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 13 sie 2011, o 00:10

Mam problem z dwoma zadaniami (były omawiane na zajęciach, ale nadal nie umiem ich rozwiązać). Będę wdzięczna za pomoc.

zad. 1

Ustalmy \(\displaystyle{ a_{1}, ......, a_{k} \in V}\) i \(\displaystyle{ m_{1}, ...., m_{k} \in R}\) i niech \(\displaystyle{ f_{(x)} = \sum_{i=1}^{k} m_{i} ||x-a_{i}||^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in V.}\)

Dowieść, że :

a) gdy \(\displaystyle{ M := \sum_{i} m_{i} \neq 0}\) , to przy \(\displaystyle{ x_{0} = \frac {1}{M} \sum_{i=1}^{k} m_{i}a_{i}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f_{(x)} = f_{(x_{0})} + M||x - x_{0}||^{2}}\) ,

b) gdy \(\displaystyle{ M \right\rangle0}\), to funkcja f przyjmuje w \(\displaystyle{ x_{0}}\) swe minimum równe \(\displaystyle{ \sum _{i} m_{i}||a_{i}||^{2} - \frac {1}{M} ||\sum_{i}^{k}m_{i}a_{i}||^{2}}\) ,

c) Jak jest gdy \(\displaystyle{ M=0}\) ?

zad 2.

Niech teraz \(\displaystyle{ F=R}\). Rozpatrzmy zbiór \(\displaystyle{ W}\) wszystkich wyrażeń \(\displaystyle{ v_{1} + iv_{2}}\),gdzie \(\displaystyle{ v_{1},v_{2} \in V}\), z naturalną strukturą zespolonej przestrzeni liniowej. Przyjmijmy dla \(\displaystyle{ u_{1} + iu_{2} , v_{1} + iv_{2} \in W}\) :

\(\displaystyle{ \left\langle u_{1} + iu_{2},v_{1}+iv_{2}\right\rangle_{W} := \left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle+\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle + i(\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle - \left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle).}\)

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot\right\rangle_{W}}\) jest iloczynem skalarnym na zespolonej przestrzeni \(\displaystyle{ W}\).
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 13:36 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: symbole <, > służą do oznaczania relacji porządku liniowego, więc ich zastosowanie w powyższej wypowiedzi jest bezzasadne

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

iloczyny skalarne

Post autor: fon_nojman » 14 sie 2011, o 09:39

W zad. 1 \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią unitarną?

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 14 sie 2011, o 12:06

Tak, V jest unitarna.

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

iloczyny skalarne

Post autor: fon_nojman » 14 sie 2011, o 13:56

Zad. 1 a)
Zacznij rozpisywać wyrażenie \(\displaystyle{ f_{(x_{0})} + M||x - x_{0}||^{2}}\) korzystając z \(\displaystyle{ \|v\|^2=\langle v, v\rangle.}\)

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 14 sie 2011, o 15:27

To był mój pierwszy pomysł, ale jak podstawię odpowiednie wyrażenia za \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ x_{0}}\), to mogę się zaliczyć na śmierć i nie dojdę do rozwiązania ...

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

iloczyny skalarne

Post autor: fon_nojman » 14 sie 2011, o 16:51

Nie jest tak źle. Zacznij od wyrażenia \(\displaystyle{ f_{x_0}.}\) Sporo się upraszcza.

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

iloczyny skalarne

Post autor: Piotr Pstragowski » 14 sie 2011, o 22:54

W 2) masz do sprawdzenia trzy warunki i wszystkie to czysta algebra.

a) Symetria sprzężeniowa - natychmiast.
b) Liniowość w pierwszym argumencie - też.
c) Dodatnia określoność - algebra + dodatnia określoność iloczynu skalarnego na \(\displaystyle{ V}\).

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 14 sie 2011, o 23:23

Dzięki za definicję. Ale po sprawdzeniu symetrii hermitowskiej wychodzi mi minus zamiast plusa przed "i", z czego wynikałoby, że to nie jest iloczyn skalarny. Pewnie popełniam błąd rachunkowy, ale wolę się upewnić.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

iloczyny skalarne

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 10:19

zamieść zatem swoje obliczenia

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 15 sie 2011, o 10:40

To jest początek moich obliczeń (jeżeli popełniam błąd, to sądzę, że tutaj):

\(\displaystyle{ f_{(x_{0})} = \sum_{i=1}^{k} m_{i} \left|\left|x_{0} - a_{i}\right|\right|^{2} =\\ \\= \sum_{i=1}^{k} m_{i} \left|\left|\frac{\sum_{i=1}^{k} m_{i}a_{i}}{\sum_{i=1}^{k} m_{i}} - a_{i}\right|\right| =\\ \\= \sum_{i=1}^{k} m_{i}\left\langle\frac{\sum_{i=1}^{k} m_{i}a_{i}}{\sum_{i=1}^{k} m_{i}} - a_{i} ,\frac{\sum_{i=1}^{k} m_{i}a_{i}}{\sum_{i=1}^{k} m_{i}} - a_{i}\right\rangle =\\ \\= m_{1} \left\langle\frac {m_{1}a_{1}-m_{1}a_{1}}{m_{1}},\frac {m_{1}a_{1}-m_{1}a_{1}}{m_{1}}\right\rangle + m_{2} \left\langle\frac{m_{1}a_{1}-m_{2}a_{2}}{m_{1}+m_{2}},\frac{m_{1}a_{1}-m_{2}a_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right\rangle +\\ \\+ m_{3} \left\langle\frac {m_{1}a_{1}+ m_{2}a_{2}-(m_{1}+m_{2})a_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}},\frac {m_{1}a_{1}+ m_{2}a_{2}-(m_{1}+m_{2})a_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\right\rangle + \ldots\\ \\ + m_{k} \left\langle\frac {m_{1}a_{1} + m_{2}a_{2} + \ldots + m_{k-1}a_{k-1} - (m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{k-1})a_{k}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{k}}, \cdot \right\rangle}\)
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 13:56 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: niepoprawne zastosowanie symboli oznaczających relacje porządku liniowego

Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

iloczyny skalarne

Post autor: fon_nojman » 15 sie 2011, o 12:19

Po trzecim znaku równości dzieją się dziwne rzeczy.
Spróbuj tak
\(\displaystyle{ f_{(x_{0})} = \sum_{i=1}^{k} m_{i} ||x_{0} - a_{i}||^{2} =\sum_{i=1}^{k} \left(m_{i} \langle x_0-a_i, x_0-a_i\rangle\right)}\)
i teraz rozpisać \(\displaystyle{ \langle x_0-a_i, x_0-a_i\rangle}\) czyli
\(\displaystyle{ \langle x_0, x_0\rangle-\langle x_0, a_i\rangle-\langle a_i, x_0\rangle+\langle a_i, a_i\rangle.}\)

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

iloczyny skalarne

Post autor: Piotr Pstragowski » 15 sie 2011, o 15:11

cleodoriah pisze:Dzięki za definicję. Ale po sprawdzeniu symetrii hermitowskiej wychodzi mi minus zamiast plusa przed "i", z czego wynikałoby, że to nie jest iloczyn skalarny. Pewnie popełniam błąd rachunkowy, ale wolę się upewnić.
To jest właśnie potrzebne, żeby wychodził minus przed i, bo mówimy o symetrii "ze sprzężeniem".
W każdym razie, możliwe, że to ja się pomyliłem, ale teraz powtórzyłem rachunki jeszcze raz i znowu wychodzi ok.

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 15 sie 2011, o 16:30

A to nie jest tak, że \(\displaystyle{ \overline {\langle u,v\rangle} = \langle v,u\rangle}\) ? Bo jeśli tak, to ten minus właśnie nam przeszkadza, a nie jest potrzebny.
Ostatnio zmieniony 15 sie 2011, o 18:46 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: zwróciłem uwagę na niewłaściwe stosowanie symboli oznaczających relacje porządku liniowego - proszę zobaczyć jak inne osoby w tym temacie oznaczają wektory

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

iloczyny skalarne

Post autor: Piotr Pstragowski » 15 sie 2011, o 16:44

No właśnie \(\displaystyle{ \overline{a+ib} = a-ib}\)? Naprawdę przepraszam, jeśli schrzaniłem obliczenia, ale jeśli podzielisz się swoimi to na pewno dojdziemy do jakiejś zgody.

cleodoriah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 12 sie 2011, o 17:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

iloczyny skalarne

Post autor: cleodoriah » 16 sie 2011, o 09:15

\(\displaystyle{ \overline {\left\langle v_{1} + iv_{2},u_{1} + iu_{2}\right\rangle }= \overline {\left\langle v_{1},u_{1}\right\rangle + \left\langle v_{2},u_{2}\right\rangle +\left\langle iv_{1},u_{2}\right\rangle -\left\langle iv_{2},u_{1}\right\rangle } = \left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle + \left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle + \left\langle u_{2},iv_{1}\right\rangle - \left\langle u_{1},iv_{2}\right\rangle = \left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle + \left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle -i\left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle + i\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle = \left\langle u_{1},v_{1}\right\rangle +\left\langle u_{2},v_{2}\right\rangle + i(\left\langle u_{1},v_{2}\right\rangle - \left\langle u_{2},v_{1}\right\rangle ) \neq \left\langle u_{1} + iu_{2}, v_{1} + iv_{2}\right\rangle}\)

zwracałem uwage na niewłaściwe użycie symboli <, > - proszę stosować poprawny zapis
Ostatnio zmieniony 16 sie 2011, o 09:24 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ