Całka potrójna. Objętość kuli

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
falke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 sie 2011, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bdg
Podziękował: 2 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: falke » 12 sie 2011, o 16:04

Treść zadania:
Oblicz całkę \(\displaystyle{ \iiint 4 \sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) po bryle\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=4}\) ?

Bryła to kula, więc przeszedłem na współrzędne sferyczne.
wyszło mi:
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ J=r^2\sin \beta}\)

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi }\int\limits_{0}^{2 \pi } \left( 4 \sqrt{r^2} \ \cdot r^2\sin \beta \right) dr d \alpha d \beta}\)

No i właśnie tu zaczyna się problem bo wynik wychodzi zero, coś jest nie tak ale nie wiem co. Gdzie popełniam błąd?
czy granica \(\displaystyle{ \beta}\) jest zła, bo jak zastosuje:
\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \pi}\) to wychodzi \(\displaystyle{ 64 \pi}\)
Ostatnio zmieniony 12 sie 2011, o 19:09 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: niepoprawny zapis funkcji trygonometrycznych

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: Chromosom » 12 sie 2011, o 19:08

w odpowiedniej zależności pozwalającej na zamianę zmiennych w całce wielokrotnej występuje wartość bezwzględna jakobianu; dodatnia wartość całki wynika zresztą z dodatniej wartości funkcji podcałkowej

Awatar użytkownika
Nakahed90
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: Nakahed90 » 12 sie 2011, o 19:12

Poczytaj jeszcze raz o współrzędnych sferycznych i spróbuj ponownie określić przedział dla kąta \(\displaystyle{ \Beta}\)

falke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 sie 2011, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bdg
Podziękował: 2 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: falke » 14 sie 2011, o 12:15

odległość zenitalna \(\displaystyle{ 0\leqslant\theta\leqslant\pi}\) czyli miarę kąta między wektorem \(\displaystyle{ \overrightarrow{OM}}\) a dodatnią półosią \(\displaystyle{ OZ}\),

Dla uniknięcia wieloznaczności przyjmuje się, że dla punktów znajdujących się na osi OZ kąt φ ma miarę 0 i podobnie, wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.

Tak więc przedział będzie wynosił:

\(\displaystyle{ 0 \le \beta \le \pi}\)
A dalsze obliczenia będą następujące:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2 \pi } \ 8 \cdot r^3 dr d \alpha}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2} \ 16 \pi \cdot r^3 dr}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ 16 \pi :4 \cdot (16)}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ 64 \pi}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: Chromosom » 14 sie 2011, o 13:47

dobrze

falke
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 12 sie 2011, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bdg
Podziękował: 2 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: falke » 14 sie 2011, o 16:32

Dzięki! oczywiście przyznałem wam po pochwale.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6661
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1085 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: kruszewski » 14 sie 2011, o 17:26

Objętość kuli \(\displaystyle{ V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r ^{3}}\)
Gdzieś ta trójka przepadła.
W.Kr.

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: Chromosom » 14 sie 2011, o 20:27

kruszewski, gdybyśmy obliczali objętość kuli, całka wyglądałaby następująco:

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V\,\text dx\,\text dy\,\text dz}\)

wtedy w jakobianie pojawiałby się czynnik \(\displaystyle{ r^2}\), który po całkowaniu prowadziłby do otrzymania czynnika \(\displaystyle{ \tfrac13}\). Tutaj jednak funkcja podcałkowa ma inną postać, co prowadzi do innego rezultatu. Wynik można interpretować jako np. masę bryły o rozkładzie gęstości określonym funkcją podcałkową.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6661
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1085 razy

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: kruszewski » 14 sie 2011, o 20:48

Oczywista, i użycie określenia "objętość kuli" jest tu nieuzasadniona.
Stąd moje pytanie o tą trójkę.
Ukłony,
W.Kr.

Evisando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 15 lis 2016, o 11:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Całka potrójna. Objętość kuli

Post autor: Evisando » 10 cze 2017, o 15:35

Dzień dobry czy jeśli byśmy założyli że \(\displaystyle{ z>0}\) to czy granica całkowania zmieni się na \(\displaystyle{ 0< \beta < \frac{ \pi }{2}}\) ? Proszę o szybką odpowiedz. Pytam ponieważ do końca rozumiem wyznaczania stałych całkowania dla \(\displaystyle{ \beta}\) Jak by ktoś mógł mnie naprowadzić byłbym wdzięczny

ODPOWIEDZ