monotoniczność finkcji w przedziale

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: kamilo_han » 12 sie 2011, o 13:33

Witam,
proszę o podpowiedż od czego wyjść chcąc zbadać monotonicznośc funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\sin x}{x}}\)

w przedziale \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{2}\right]}\)?

Sorki, przedział powinien być domknięty z prawej.
Ostatnio zmieniony 12 sie 2011, o 19:26 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: miodzio1988 » 12 sie 2011, o 13:36

Od policzenia pierwszej pochodnej tej funkcji

kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: kamilo_han » 12 sie 2011, o 13:49

Liczyłem i zatrzymuje się na określeniu znaku licznika

\(\displaystyle{ x \cos x - \sin x}\)

Czy brak miejsc zerowych w przedziale \(\displaystyle{ \left(0;\frac{\pi}{2}\right]}\)
i dodatniość wszystkich składników licznika wystarczają do stwierdzenia,
że funkcja jest rosnąca?
Ostatnio zmieniony 12 sie 2011, o 19:26 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: miodzio1988 » 12 sie 2011, o 13:56

Nie. Przecież odejmowanie masz....

kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: kamilo_han » 12 sie 2011, o 14:17

Jakieś pomysły?

miodzio1988

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: miodzio1988 » 12 sie 2011, o 14:20

\(\displaystyle{ g(x)=x \cos x - \sin x}\)

A zbadaj przebieg takiej funkcji. Może coś ładnego wyjdzie.

A jak nie to coś innego się wymyśli

kamilo_han
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lut 2011, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 4 razy

monotoniczność finkcji w przedziale

Post autor: kamilo_han » 12 sie 2011, o 15:15

Da się wykorzystując \(\displaystyle{ \tg}\).

\(\displaystyle{ x\cos x - \sin x=x\cos x - \cos x \tg x = \cos x (x-\tg x)}\)

Dla \(\displaystyle{ x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) i \(\displaystyle{ x<\tg x}\),
czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca.

Dzięki.
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 12 sie 2011, o 19:26 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ