wartość oczekiwana wyznacznika

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wartość oczekiwana wyznacznika

Post autor: BlueSky » 11 sie 2011, o 17:32

W urnie znajduje się n kul ponumerowanych liczbami od 1 do n. Losujemy ze zwracaniem 4 kule. Niech a, b, c, d będą liczbami znajdującymi się na kolejno wylosowanych kulach. Niech E(n) będzie wartością oczekiwaną wyznacznika \(\displaystyle{ det\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}}\). Czy wtedy:
a) \(\displaystyle{ E(2)<1}\), b) \(\displaystyle{ E(3)<0}\), c) \(\displaystyle{ E(4)>0}\), d) \(\displaystyle{ E(5)>1}\)?

Czy można to zadanie rozwiązać tak?
Mamy obliczyć wartość oczekiwaną wyznacznika, czyli wartość oczekiwaną różnicy ad-bc.
Dla danego n ta różnica przyjmuje wartości ze zbioru \(\displaystyle{ \{n^2-1, n^2-2,...,0,...,-(n^2-2),-(n^2-1) \}}\). Prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej liczby z tego zbioru to \(\displaystyle{ \frac{1}{2(n^2-1)+1}}\). Zatem \(\displaystyle{ E(n)= \frac{n^2-1 + n^2-2+...+0+...-(n^2-2)-(n^2-1)}{2(n^2-1)+1}=0}\). Zatem tylko a) jest prawdą.
Ostatnio zmieniony 11 sie 2011, o 17:55 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wartość oczekiwana wyznacznika

Post autor: norwimaj » 11 sie 2011, o 20:37

Na jakiej podstawie sądzisz, że wylosowanie każdej z \(\displaystyle{ 2n^2-1}\) wartości wyznacznika jest jednakowo prawdopodobne? Moim zdaniem to błędne rozwiązanie.

A zadanie jest bardzo łatwe. Wystarczy zauważyć, że wartość oczekiwana iloczynu \(\displaystyle{ ad}\) istnieje i jest równa wartości oczekiwanej iloczynu \(\displaystyle{ bc}\). Zatem z liniowości wartości oczekiwanej wynika, że wartość oczekiwana \(\displaystyle{ ad-bc}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

wartość oczekiwana wyznacznika

Post autor: BlueSky » 11 sie 2011, o 20:58

A jak to wszystko dokładnie zapisać? Bo myślę, że wiem o co Ci chodzi, ale nie wiem, jak to zapisać.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wartość oczekiwana wyznacznika

Post autor: norwimaj » 11 sie 2011, o 21:14

Akurat w tej chwili nie mam natchnienia do pisania uzasadnień, więc bym po prostu wszystko rozpisał:

\(\displaystyle{ E(n)=\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{1}{n^4}\, \left(ad-bc\right)=}\)

\(\displaystyle{ = \sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^4}\;-\; \sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{bc}{n^4}=}\)

\(\displaystyle{ = \sum_{a=1}^n\sum_{d=1}^n \frac{ad}{n^2}\;-\; \sum_{b=1}^n\sum_{c=1}^n \frac{bc}{n^2}}\).

Otrzymaliśmy różnicę dwóch takich samych sum, czyli \(\displaystyle{ 0}\).

ODPOWIEDZ