Obliczyć ługość łuku krzywej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
heniek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2011, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kołobrzeg
Podziękował: 1 raz

Obliczyć ługość łuku krzywej

Post autor: heniek89 » 11 sie 2011, o 14:48

Witam, mógłby mi ktoś powiedzieć, czy dobrze to obliczyłem?
\(\displaystyle{ y=\ln(1-x^{2}), \ 0 \le x \le \frac{1}{3}}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ L=\int _{a}^{b}\sqrt{1+y'^{2} } dx\\ y'=\frac{1}{1-x^{2} } \cdot (-2x)=\frac{2x}{x^{2} -1}\\ \sqrt{1+\left(\frac{2x}{x^{2} -1} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{\left(x^{2} +1\right)^{2} }{\left(x^{2} -1\right)^{2} } } =\frac{x^{2} +1}{x^{2} -1}\\ L=\int _{0}^{\frac{1}{3} }\frac{x^{2} +1}{x^{2} -1} dx =\int _{0}^{\frac{1}{3} }\left( 1+\frac{1}{x-1} -\frac{1}{x+1} \right) dx =\left( x+\ln \left|x-1\right|-\ln \left|x+1\right|\right)|_{0}^{\frac{1}{3} } =\\=\frac{1}{3} +\ln \frac{2}{3} -\ln \frac{4}{3} =\frac{1}{3} -\ \ln 2 }}\)
Koleżance wyszło: \(\displaystyle{ - \frac{1}{3}+\ \ln 2}\). Czy czymś to się różni? Na moje oko wyszło dobrze, tylko, że wyniki inne, tzn. u mnie wynik jest na minusie.
Ostatnio zmieniony 11 sie 2011, o 17:00 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Obliczyć ługość łuku krzywej

Post autor: Piotr Pstragowski » 11 sie 2011, o 15:07

Twoja krzywa ma długość ujemną, co można uznać za pewien defekt.
(Pamiętaj, że zgodnie z konwencją, \(\displaystyle{ \sqrt{a^2} = |a|}\).)

heniek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2011, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kołobrzeg
Podziękował: 1 raz

Obliczyć ługość łuku krzywej

Post autor: heniek89 » 11 sie 2011, o 18:01

Czyli biorąc pod uwagę warunek \(\displaystyle{ 0 \le x \le \frac{1}{3}}\), po opuszczeniu pierwiastka, mogę zrobić tak: \(\displaystyle{ \left| \frac{x ^{2}+1 }{x ^{2}-1} \right|= \frac{x ^{2}+1 }{1-x ^{2} }}\). I wszystko się zgadza później.

Dziękuję bardzo za podpowiedź

ODPOWIEDZ