Interpretacja rozkładu normalnego

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 11 sie 2011, o 12:21

Dzień dobry,

Mam pytanie jak interpretować wyniki rozkładu normalnego?

Postaram się wytłumaczyć to na prostym przykładzie.
Mamy przedsiębiorstwo gdzie pracuje \(\displaystyle{ 174}\) osób, średnie wynagrodzenie to \(\displaystyle{ 3240}\) zł (średnia arytmetyczna), odchylenie standardowe populacji \(\displaystyle{ 744}\) zł.
W tym zakładzie jest jeden dyrektor który zarabia \(\displaystyle{ 6500}\) zł.

\(\displaystyle{ N~=~174,~\mu~=~3240,~\sigma~=~744}\)
\(\displaystyle{ \o (X,~\mu,~3*\sigma)~=~(6500,~3240,~2232)~=~0,000000003}\)

Wstawiając powyższe wartości do wzoru na gęstość rozkładu normalnego otrzymujmy wartość \(\displaystyle{ 0,000000003}\)
Natomiast dzieląc \(\displaystyle{ \frac{1~dyrektor}{174~osoby}~=~0,0057471}\)

Jak interpretować wartość \(\displaystyle{ 0,000000003}\)?
Co to jest wartość oczekiwana, która pojawia się we wzorze na rozkład normalny, czy może to być średnia arytmetyczna?

miodzio1988

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: miodzio1988 » 11 sie 2011, o 12:31

Co to jest wartość oczekiwana, która pojawia się we wzorze na rozkład normalny, czy może to być średnia arytmetyczna?
http://pl.wikipedia.org/wiki/Warto%C5%9 ... oczekiwana

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 11 sie 2011, o 12:45

wzór dla wartości oczekiwanej jest następujący
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \sum_{i=1}^{n} x_{i}p _{i}}\)
ale jak policzyć to \(\displaystyle{ p _{i}}\)?

miodzio1988

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: miodzio1988 » 11 sie 2011, o 12:49

A po co Ci \(\displaystyle{ p _{i}}\) ? Przecież jak masz rozkład normalny o znanych parametrach to wiadomo jaka jest wartość oczekiwana...

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 11 sie 2011, o 13:18

Chodziło mi o to że część definicji mówi że do wzoru na rozkład normalny należy wstawić wartość oczekiwaną, a niektóre że średnią. Chciałam wyśnić różnicę oraz jak wyliczyć wartość oczekiwaną.

miodzio1988

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: miodzio1988 » 11 sie 2011, o 13:24

część definicji mówi że do wzoru na rozkład normalny należy wstawić wartość oczekiwaną, a niektóre że średnią.
Ja znam jedną def rozkładu normalnego.

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny

\(\displaystyle{ \phi_{\mu, \sigma}(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\exp\left(\frac {-(x-\mu )^2} {2\sigma^2}\right)}\)

I z prawej strony masz tabelkę z opisem

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 11 sie 2011, o 13:34

ok, czyli \(\displaystyle{ \mu}\) to dominanta

a jak interpretować wartość rozkładu \(\displaystyle{ 0,000000003}\)?

miodzio1988

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: miodzio1988 » 11 sie 2011, o 13:38

a jak interpretować wartość rozkładu 0,000000003?
Tak samo jak każdy inny wynik z rozkładu. Co nam mówi rozkład?
\(\displaystyle{ \phi_{\mu, \sigma}(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\exp\left(\frac {-(x-\mu )^2} {2\sigma^2}\right)}\)
Jak wstawię jakiś \(\displaystyle{ x}\) to co otrzymam?

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 11 sie 2011, o 13:54

A czy możesz mi to wyjaśnić, nie znam tej interpretacji, co wartość tej liczby mówi.

Awatar użytkownika
Frey
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3296
Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 243 razy

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Frey » 11 sie 2011, o 19:32

Miodzio to robi się irytujące, nie możesz chociaż na jedno pytanie odpowiedzieć wprost.

miodzio1988

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: miodzio1988 » 11 sie 2011, o 19:48

Mogę. ( właśnie teraz odpowiedziałem wprost )

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... nne_losowe

No doooobra.
Przykładowo, hipotetyczny rozkład zmiennej losowej będącej wzrostem mężczyzny mógłby odpowiadać polu pod wykresem funkcji z następującego rysunku:
Widzimy pod tym wykres. Już widać co nam ta wartość rozkładu daje? Jakie wartości mamy na osi OY?

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 12 sie 2011, o 23:28

to może spróbuje rozwiązać pierwszy przykład z podanego linku.
\(\displaystyle{ \mu=177.5}\)
\(\displaystyle{ \sigma ^{2} =36}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =180}\)
\(\displaystyle{ x _{2} =185}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \sigma ^{2} }}\exp \left(\frac{-(x-\mu) ^{2} }{2 \sigma ^{2} }\right)}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi 6 ^{2} }}\exp \left( \frac{-(x-177.5) ^{2} }{2 \cdot 6 ^{2} }\right)}\)

\(\displaystyle{ erf(z)= \frac{2}{ \sqrt{\pi} } \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n}z ^{2n+1} }{n!(2n+1)}= \frac{2}{ \sqrt{\pi} } \left( z - \frac{z ^{3} }{3} + \frac{z ^{5} }{10} - \frac{z ^{7} }{24} + \frac{z ^{9} }{216} - \cdot \cdot \cdot \right)}\)

\(\displaystyle{ F(x,\mu,\sigma ^{2})= \frac{1}{2}\left[ 1+ erf \left( \frac{x- \mu}{\sigma \sqrt{2} } \right) \right]}\)
\(\displaystyle{ F(180,177.5,36)= \frac{1}{2}\left[ 1+ erf \left( \frac{180- 177.5}{6 \sqrt{2} } \right) \right]=0.894350}\)
\(\displaystyle{ F(185,177.5,36)= \frac{1}{2}\left[ 1+ erf \left( \frac{185- 177.5}{6 \sqrt{2} } \right) \right]=0.661538}\)

\(\displaystyle{ 0.894350-0.661538=0.232811}\)

Czyli prawdopodobieństwo wybrania osoby o wzroście między 180 cm a 185 cm wynosi \(\displaystyle{ 0.232811}\)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Chromosom » 15 sie 2011, o 10:38

w dwóch przedostatnich linijkach jest błąd, nie możesz otrzymać mniejszej wartości dystrybuanty dla większego argumentu

Joanna1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 sie 2011, o 11:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot

Interpretacja rozkładu normalnego

Post autor: Joanna1992 » 16 sie 2011, o 15:42

racja powinno być
\(\displaystyle{ F(180,177.5,36)= \frac{1}{2}\left[ 1+ erf \left( \frac{180- 177.5}{6 \sqrt{2} } \right) \right]=0.661538}\)

\(\displaystyle{ F(185,177.5,36)= \frac{1}{2}\left[ 1+ erf \left( \frac{185- 177.5}{6 \sqrt{2} } \right) \right]=0.894350}\)

dzięki

ODPOWIEDZ