Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6302
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1359 razy

Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

Post autor: janusz47 » 10 sie 2011, o 22:51

Dla warunków początkowych \(\displaystyle{ a_{0} = 0, \ a_{1} = 1}\) rachunki są prawidłowe.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

Post autor: » 10 sie 2011, o 22:59

Pomijam już fakt, że takich warunków nie ma ani dla funkcji tworzącej ani dla rekurencji z pierwszego postu, ale nawet z takimi warunkami w tym rachunku roi się od błędów (i to nie tylko literówek).

Kluczowa sprawa odnośnie błędu w samym wyniku: funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n}\) jest \(\displaystyle{ A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}}\).

Q.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6302
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1359 razy

Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

Post autor: janusz47 » 11 sie 2011, o 22:36

Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}) = (n) = (1,2,3,...)}\)
jest \(\displaystyle{ A(x) = \frac{1}{(1-x)^2}.}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Funkcja tworząca i postać jawna ciągu

Post autor: » 11 sie 2011, o 22:56

janusz47 pisze:Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ ( a_{n}) = (n) = (1,2,3,...)}\)
jest \(\displaystyle{ A(x) = \frac{1}{(1-x)^2}.}\)
Ciąg \(\displaystyle{ a_n=n}\) to \(\displaystyle{ (0,1,2,3,\ldots )}\) bowiem numerowanie ciągu zaczynamy od \(\displaystyle{ a_0}\). Natomiast funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n+1}\) czyli ciągu \(\displaystyle{ (1,2,3,4,\ldots )}\) jest właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}}\).

Inaczej mówiąc:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(x-1)^2}\\ \sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(x-1)^2}}\)

Prześledź jeszcze raz swoje rachunki, pierwszy błąd jest już w drugiej równości.

Q.

ODPOWIEDZ