caleczka z funkcji wymiernej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ak44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 23 lip 2011, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

caleczka z funkcji wymiernej

Post autor: ak44 » 9 sie 2011, o 19:43

witam mam do obliczenia nastepujaca caleczke : \(\displaystyle{ \int\frac{ \ln x }{x( \ln ^ {2}x+2 \ln x +10)} \mbox{d}x}\)

wpadlem na pomysl, aby "cos zrobic" z tymi nieszczesnymi log a rytmami, podstawilem wiec za \(\displaystyle{ t= \ln x}\) i wyszlo mi cos takiego: \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} \mbox{d}t}\) w dalszych krokach, pozamienialem to na ulamki proste i otrzymuje : \(\displaystyle{ \frac{t}{t^{2}+2t+10}=\frac{Ax+B}{t^{2}+2t+10}}\)
i tu zaczynaja sie schody. po wszelkich przeksztalceniach dochodze do wniosku ze A=0 ale nie wiem co z B. Wlasnie tutaj potrzebuje drobnej wskazowki. Z gory dziekuje
Ostatnio zmieniony 10 sie 2011, o 18:34 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Logarytm naturalny zapisuj w LaTeX-u jako \ln.

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

caleczka z funkcji wymiernej

Post autor: lukasz1804 » 9 sie 2011, o 19:56

Począwszy od tej całki \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} dt}\) postąpiłbym inaczej. Najpierw rozkład na różnicę całek \(\displaystyle{ \int\frac{t}{t^{2}+2t+10} dt=\frac{1}{2}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+10}dt-\int\frac{dt}{t^2+2t+10}}\); teraz pierwszą z nich można obliczyć wprost (licznik jest pochodną mianownika), a w drugiej należy sprowadzić trójmian w mianowniku do postaci kanonicznej i próbować otrzymać funkcję pierwotną zawierającą \(\displaystyle{ \arctan}\) (rozkład na ułamki proste nie ma tu zastosowania, bo trójmian w mianowniku jest nierozkładalny nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

ak44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 23 lip 2011, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 1 raz

caleczka z funkcji wymiernej

Post autor: ak44 » 9 sie 2011, o 23:17

czyli, wobec powyzszego calka: \(\displaystyle{ \int\frac{1}{(t+1)^{2}+9} \mbox{d}t=\int\frac{1}{t^{2}+2t+10} \mbox{d}t}\)
idąc dalej, zamieniam z powrotem do takiej postaci: \(\displaystyle{ \int\frac{1}{x( \ln x +1)^{2}+9} \mbox{d}x}\) aby moc zrobic maly manewr, mianowicie...podstawiamy.. \(\displaystyle{ t= \ln x +1}\)
i sedno watku...czy otrzymana calka \(\displaystyle{ \int\frac{1}{t^{2}+9} \mbox{d}t}\) jest prawidlowa po przeksztalceniach i czy moj wynik rowniez jest poprawny : \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{9}} \arc\tg \frac{t}{\sqrt{9}}}\) ponownie z gory dziekuje za kazda mozliwa odpowiedz...
Ostatnio zmieniony 10 sie 2011, o 18:35 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa zapisu funkcji.

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

caleczka z funkcji wymiernej

Post autor: cosinus90 » 10 sie 2011, o 02:00

Tak, przy czym zamień \(\displaystyle{ \sqrt{9}=3}\). Trochę namieszałeś, bo wystarczyło na początku podstawić np. \(\displaystyle{ t+1 = u}\), bo tak to dwie te same litery mogą Ci trochę pomylić, ale generalnie jest ok.

ODPOWIEDZ