Udowodnić okresowość

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Hołek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 gru 2008, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 77 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Hołek » 8 sie 2011, o 19:06

Udowodnić, że jeżeli liczba p jest okresem (niekoniecznie podstawowym) funkcji f, to dla każdego \(\displaystyle{ k\in N}\) liczba \(\displaystyle{ k \cdot p}\) jest także okresem tej funkcji.

mam pytanie do powyższego czy wystarczy jak napiszę, że np. jeżeli funkcja \(\displaystyle{ y=sin x}\) jest okresowa i jej okres podstawowy wynosi 2pi to każda liczba 2pi \(\displaystyle{ \cdot}\)k jest także okresem tej funkcji?
nie wiem jak mam do tego podejść jak niby mam to przedstawić przecież to jest oczywiste, wynika to definicji...
Ostatnio zmieniony 8 sie 2011, o 19:19 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Althorion » 8 sie 2011, o 19:21

Nie. To, co Ty chcesz zrobić, to podanie przykładu. Przykład nie jest dowodem.

Ja bym zastosował indukcję. Choć faktycznie jest to elementarne twierdzenie.

Hołek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 gru 2008, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 77 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Hołek » 8 sie 2011, o 19:26

Przepraszam ale nie potrafię korzystać jeszcze z indukcji matematycznej... nie ma innego sposobu ?

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Althorion » 8 sie 2011, o 19:36

Nic, co mi przychodzi do głowy, nie jest prostsze od indukcji. Jesteś pewien, że nie chcesz się jej nauczyć? Ogarnięcie podstaw wcale nie jest trudne.

Hołek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 gru 2008, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 77 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Hołek » 8 sie 2011, o 19:45

Nauczyć się oczywiście że chcę i zrobię to natomiast indukcję mam w planach razem z ciągami

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Marcinek665 » 8 sie 2011, o 19:53

A jakby napisać coś takiego.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie naszą funkcją, a \(\displaystyle{ T}\) jej okresem. Mamy udowodnić, że z:

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\) wynika \(\displaystyle{ f(x + kT) = f(x)}\).

Jednak możemy zapisać:

\(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

\(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-2)T)}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ f(x + T) = f(x)}\).

Oczywiście skoro k jest naturalne, to proces się zakończy (dokładnie po k-tej równości) To takie trochę świadome ominięcie indukcji, ale ważne że działa
Ostatnio zmieniony 8 sie 2011, o 21:07 przez Marcinek665, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Althorion » 8 sie 2011, o 20:02

Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.

Hołek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 gru 2008, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 77 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Hołek » 8 sie 2011, o 20:20

Marcinek665 pisze: \(\displaystyle{ f(x + kT) = f([x + (k-1)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)
co się stało z T?
Althorion pisze:Jak dla mnie to to się praktycznie od indukcji nie różni.
może dlatego tego nie rozumiem...-- 8 sierpnia 2011, 20:42 --to też jest chyba już zbędne ? wychodzisz z jednej równości aby dowieść tę samą równość?
Marcinek665 pisze: \(\displaystyle{ f(x + (k-1)T) = f([x + (k-2)T] + T) = f(x + (k-1)T)}\)

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Udowodnić okresowość

Post autor: Marcinek665 » 8 sie 2011, o 21:09

Miałem literówkę, już poprawiłem.

ODPOWIEDZ