Całka krzywoliniowa skierowana

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Karol_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 sie 2011, o 09:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 1 raz

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: Karol_Fizyk » 5 sie 2011, o 10:48

Rozwiążcie mi proszę taką całkę, chciałbym prześledzić rozwiązanie...
\(\displaystyle{ I = \int_{K}x ^{2} y\, \mbox{d}x +x y ^{2}\, \mbox{d}y\\ \\y (x) = 2x +1}\)
równanie krzywej
Z góry dziękuję za pomoc!
Ostatnio zmieniony 5 sie 2011, o 11:48 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa nazwy tematu

miodzio1988

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: miodzio1988 » 5 sie 2011, o 11:13

z definicji całki krzywoliniowej skorzystaj.

Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: Tomek_Fizyk-10 » 5 sie 2011, o 11:23

Należy najpierw przeprowadzić parametryzację krzywej:
\(\displaystyle{ x =t}\) oraz \(\displaystyle{ y = 2t +1}\)

\(\displaystyle{ P \left(x,y\right) = x ^{2} y}\) i \(\displaystyle{ Q \left(x,y\right) = x y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ P \left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right) = t ^{2} \left(2t+1\right) = 2t ^{3} +t ^{2}}\)
\(\displaystyle{ Q \left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right) = t\left(2t+1\right) ^{2} = t \left(4t ^{2} +4t + 1 \right) = 4t ^{3} +4t ^{2} +t}\)

Zamiana całki krzywoliniowej (zorientowanej) na całkę oznaczoną przebiega następująco:
\(\displaystyle{ I= \int_{ \alpha}^{ \beta} P\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right) x'\left(t\right) \mbox{d}t + Q\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right) y'\left(t\right) \mbox{d}t}\)
\(\displaystyle{ I = \int_{ \alpha}^{ \beta} \left(2t ^{3} +t ^{2} +8t ^{3} + 8t ^{2} +2t \right) \mbox{d}t = \int_{ \alpha}^{ \beta} \left(10t ^{3} +9t ^{2} +2t \right) \mbox{d}t}\)

Obliczają teraz całkę nieoznaczoną, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \left(10t ^{3} +9t ^{2} +2t \right) \mbox{d}t = \frac{5}{2} t ^{3} +3t ^{3} +t ^{2} = t ^{2} \left( \frac{5}{2} t ^{2} +3t+1 \right)}\)

\(\displaystyle{ I = \left[ t ^{2} \left( \frac{5}{2} t ^{2} +3t+1 \right) \right] \right| _{ \alpha} ^{ \beta}}\)
Do końcowego kroku, brakuje tylko krańcowych punktów krzywej, by wyliczyć wartość całki \(\displaystyle{ I}\)...
Należy pamiętać, że: \(\displaystyle{ \alpha \le t \le \beta}\)
Pozdrawiam!
Ostatnio zmieniony 5 sie 2011, o 11:50 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Karol_Fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 sie 2011, o 09:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 1 raz

Całka krzywoliniowa skierowana

Post autor: Karol_Fizyk » 5 sie 2011, o 11:27

Dziękuję wam za pomoc!

ODPOWIEDZ