[Teoria liczb] Dzielniki n^2+1

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Teoria liczb] Dzielniki n^2+1

Post autor: Swistak » 4 sie 2011, o 23:32

Hej, hej. Jest sobie takie o zadanko:
Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ n^2+1}\) nie ma dzielnika pierwszego większego od \(\displaystyle{ n}\).
Ile dowodów uda wam się wymyślić ? Ja wymyśliłem 1, przeczytałem wzorcówkę, a tam były jeszcze 2 inne . Dlatego zachęcam do wymyślenia jak największej liczby istotnie różnych dowodów ; p.

KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[Teoria liczb] Dzielniki n^2+1

Post autor: KPR » 5 sie 2011, o 11:16

rozwiązanie 1:    
rozwiązanie 2:    

Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Teoria liczb] Dzielniki n^2+1

Post autor: Damianito » 5 sie 2011, o 14:01

szkic rozwiązania 3.:    

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

[Teoria liczb] Dzielniki n^2+1

Post autor: andkom » 5 sie 2011, o 22:08

Szkic rozwiązania 4:    
I uwaga do tego rozwiązania:    

ODPOWIEDZ