ortogonalne układy współrzędnych

[agu89]

Mam zadanie polegające na sprawdzeniu, czy podane współrzędne krzywoliniowe definiują ortogonalne układy współrzędnych. Znalazłam informację, że w takich układach tensor metryczny musi być diagonalny. Dla typowych układów umiem je wyznaczyć, ale w tym przypadku nie. Pierwszy z przykładów to: \(\displaystyle{ x=a\cosh \alpha \cos \beta \ y=a\sinh \alpha \sin \beta}\)

Prosiłabym o jakąś radę, pozdrawiam

[Wasilewski]

Musisz po prostu policzyć odpowiednie różniczki i skorzystać z postaci tensora metrycznego w standardowych współrzędnych. Dokładniej:
\(\displaystyle{ dx = a \sinh \alpha \cos \beta d\alpha - a \cosh \alpha \sin \beta d\beta \\
dy = a \cosh \alpha \sin \beta d\alpha + a \sinh \alpha \cos \beta d \beta}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ g = dx^2 + dy^2 = a^2 (\sinh^2 \alpha \cos^2 \beta + \cosh^2 \alpha \sin^2 \beta) (d\alpha^2 + d\beta^2) = \\ a^2( \sin^2\beta + \sinh^2 \alpha) (d\alpha^2 + d\beta^2)}\)
Wobec tego te współrzędne definiują ortogonalny układ współrzędnych.

[agu89]

czy mógłbyś napisać skąd to ostatnie przekształcenie, bo nie jest to dla mnie jasne niestety.

[ares41]

\(\displaystyle{ \sinh^2 \alpha \cos^2 \beta + \cosh^2 \alpha \sin^2 \beta=\sinh^2{\alpha}(1-\sin^2{\beta})+\cosh^2\alpha \sin^2\beta=\\ \sinh^2\alpha+\sin^2\beta(\underbrace{\cosh^2\alpha-\sinh^2\alpha}_{\text{jedynka hiperboliczna}})= \sinh^2 \alpha+\sin^2\beta}\)

[agu89]

Dziękuję. Czy dla układu \(\displaystyle{ x= \alpha + \beta , y= \alpha \cdot \beta}\) otrzymuję \(\displaystyle{ dx=d \alpha +d \beta \ dy= \beta d \alpha + \alpha d \beta}\) stąd \(\displaystyle{ g=(1+ \beta ^{2})d \alpha ^{2} + (1+ \alpha ^{2} )d \beta ^{2}}\) to układ nie jest ortogonalny?