Matematyka.pl

Witam ! Mam tu do rozwiazania 5 zad z egzaminu. Kompletnie nie rozumiem tego przedmiotu, nie wiem jak sie do tego zabrac. Gdyby ktos raczyl je rozwiazac i dodatkowo wytlumaczyl jak do tego doszedl, bylabym wdzieczna.
1. Udowodnic KOMBINATORYCZNIE rownosc dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} ( 2 ^{n-k} -1 = 2^{n} -(n+1)}\)

2. Ania lubi kolor pik, Bartek karo, a Czesław i Danusia lubią zarówno kier jak i trefl. Ile jest mozliwych rozwiazan w brydzu dla tych 4 osob, aby co najmniej jedna z tych osob otrzymala karty jednego koloru i to koloru, ktory lubi.

3. Znaleźć liczbe rozwiazan w liczbach calkowitych nieujemnych rownania :
\(\displaystyle{ x _{1} +...+ x_{4} =30}\)
takich ze:
a) dla kazdego \(\displaystyle{ i=1...4 \ \ x_{i} >i}\)
b) dla kazdego \(\displaystyle{ i=1...4 \ \ x_{i} <2i}\)

4. Sposrod 9 osob gdzie i-ta osoba ma i lat (\(\displaystyle{ i \in \{1,2...10\}}\)) wybieramy grupe co najmniej 3 osob. Udowodnij, ze istnieje co najmniej 20 takich grup, w ktorych suma wieku osob jest taka sama.

5. Wyznaczyc jawny wzor na n-ty wyraz ciagu \(\displaystyle{ \left( a_{n} \right)}\) wyznaczonego przez nastepujace warunki rekurencyjne
\(\displaystyle{ a_{0} =0 \\
a_{1} =4 \\
a_{n} =3 a_{n-2} -2 a_{n-1}}\)

Gotowca nie będzie . Przykro mi.
Od najłatwiejszego zaczniemy. Jak się gra w Brydża wiesz? Po ile kart dostaje każdy zawodnik?

Nigdy nie gralam ...13 ?

Zasady brydża -> Google.

Nie uważasz, że to powinna być pierwsza rzecz, którą sprawdzasz widząc takie zadania? Sprawdź i dopiero nam powiedz.

Sprawdziłam z tali 52 kart kazdy z 4 graczy uzyskuje 13 kart

aby co najmniej jedna z tych osob otrzymala karty jednego koloru i to koloru, ktory lubi.

To najpierw napisz nam na ile sposób dowolnie możemy rozdać te karty?

Nawiazujac do mojego pierwszego postu, kombinatoryka jest moja pieta Achillesowa. Prosze sie nie smiac jak przeczytasz glupote.

Jesli mamy 4 osoby i 1 z nich dostanie 13 kart tego samego koloru, czyli mamy:
\(\displaystyle{ x_1+13+x_2+\,\cdots\,+x_4=52\\ x_1+\,\cdots\,+x_4=39\\ \\ \frac{39+4-1}{4-1}}\)
zatem mamy 42 po 3-- 4 sie 2011, o 20:50 --zle napisalane powinien byc nawias zamist kreski ulamkowej

Najpierw masz napisać ogólnie ile takich sposobów jest. Wszystkich

Ma byc 52 po 13

Brawo.

aby co najmniej jedna z tych osob otrzymala karty jednego koloru i to koloru, ktory lubi.

No dobra. To teraz będziemy się bawić w sumowanie przypadków.

Ania lubi kolor pik

No to jak można rozdać te kwarty tak, żeby Ania otrzymała same piki, a reszta ( póki co) dowolnie.

Ania ma 13 po 13 , bartek 39 po 13, czesiek 26 po 13 i danka 13 po 13
zatem bedzie 39 po 13 razy 26 po 13

I tak sumujesz te przypadki pamiętając o tym, że możesz niektóre kombinacje dodawać kilka razy. Pomyśl które. I tyle. Jakie są jeszcze problemy?

Zatem bedzie :ania pik \(\displaystyle{ {39 \choose 13}\cdot {26 \choose 13}}\)
bartek karo -//-
czesiek kier -//-
czesiek trefl-//-
danka kier -//-
danka trefl -//-
I teraz rozumie sie, ze od \(\displaystyle{ {52 \choose 13}}\) mam odjac te wszystkie zsumowane przypadki, czy tez w tych przypadkach mam uwzglednic , ze 2, 4 osoby dostaly wszystkie karty koloru, ktory lubia ?
Jesli tak to byloby
\(\displaystyle{ 6 \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13}+ 11\cdot {26 \choose 13}+2}\)
i od \(\displaystyle{ {52 \choose 13}}\)odejmujemy ta sume-- 9 sie 2011, o 16:40 --Dobrze czy zle ? No i przydałoby sie zajac zad 1

czy mógłby ktoś sprawdzić to rozwiązanie?

A może tak?
Ania dostaje karty koloru pik a reszta dowolnie
\(\displaystyle{ |A|={39\choose 13}{26\choose 13}}\)
Bartek dostaje karty koloru karo a reszta dowolnie
\(\displaystyle{ |B|={39\choose 13}{26\choose 13}}\)
Czeslaw i Danusia dostaja karty koloru tylko trefl i tylko kier kier a reszta dowolnie
\(\displaystyle{ |C|=4{39\choose 13}{26\choose 13}}\)
Ania dostaje pik, a Bartek karo reszta dowolnie
\(\displaystyle{ |A \cap B|={26\choose 13}}\)
Ania Czesław i Danusia dostają kolory
\(\displaystyle{ |A \cap C|=5{26\choose 13}}\)
Bartek Czesław i Danusia dostają kolory
\(\displaystyle{ |B \cap C|=5{26\choose 13}}\)
Wszyscy dostają kolory jakie lubią
\(\displaystyle{ |A \cap B \cap C|=4}\)
I teraz z zasady włączeń i wyłączeń mamy
\(\displaystyle{ |A \cup B \cup C|=6{39\choose 13}{26\choose 13}-11{26\choose 13}+4}\)

Taa juz wiem gdzie miałem bład na egzaminie ja poprostu policzyłem przypadki gdzie Czesław i Danusia mają w talii kier albo trefl a mogą mieć karty jednego koloru