równanie różniczkowe jednorodne

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
wojteks90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 2 sie 2011, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Pysznica
Podziękował: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: wojteks90 » 2 sie 2011, o 12:24

Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania krok po kroku?
\(\displaystyle{ x \frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y} \cos \frac{y}{x} = y\cos \frac{y}{x} - x}\)
Podstawiłem za \(\displaystyle{ \frac{y}{x}=t}\) i otrzymałem \(\displaystyle{ \left( t+x \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x} \right) \cos t = t \cos t -1}\)
jestem nowy na forum więc sorki za błedy.
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 12:26 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 12:32

zakładając, że dobrze zrobiłeś podstawienie ( tego nie sprawdzam) to patrzysz jaki typ równania otrzymałeś. jaki?

wojteks90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 2 sie 2011, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Pysznica
Podziękował: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: wojteks90 » 2 sie 2011, o 12:47

miodzio1988 pisze:zakładając, że dobrze zrobiłeś podstawienie ( tego nie sprawdzam) to patrzysz jaki typ równania otrzymałeś. jaki?
sorki ale nie wiem za bardzo jeszcze nie ogarniam tych różniczek

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 12:51

No to zacznij od podstaw. naucz się jak wyglądają podstawowe typu równań różniczkowych i wtedy będzie o czym gadać

wojteks90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 2 sie 2011, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Pysznica
Podziękował: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: wojteks90 » 2 sie 2011, o 12:55

chodzi Ci o to, że jest to równanie o zmiennych rozdzielonych?

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 12:57

A jest? No to rozdziel zmienne

wojteks90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 2 sie 2011, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Pysznica
Podziękował: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: wojteks90 » 2 sie 2011, o 13:01

tylko właśnie nie wiem jak.
ogólnie to zadanie jest w temacie zmiennych jednorodnych i wcześniejsze przykłady udawało mi się rozwiązać, a przy tym w rozwiązaniu jest jakieś dziwne przejscie z
\(\displaystyle{ \left( t+x \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x} \right) \cos t = t \cos t -1}\)
do
\(\displaystyle{ x \cos t \frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}=-1}\) nie wiem skąd to się wzielo
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 16:33 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 13:04

Podziel sobie strony przez \(\displaystyle{ \cos t}\). Wtedy już powinieneś wiedzieć co robić dalej

wojteks90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 2 sie 2011, o 12:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Pysznica
Podziękował: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: wojteks90 » 2 sie 2011, o 13:05

ok już wiem:) dzięki za pomoc:)

Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Tomek_Fizyk-10 » 2 sie 2011, o 15:14

Wojteks90, Mógłbyś rozpisać swoje podstawienie za \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y }}\) , gdyż mam takie wrażenie, iż nie zostało ono wykonane poprawnie...

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6318
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1361 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: janusz47 » 2 sie 2011, o 16:32

Jest to równanie jednorodne wzlędem x i y.
\(\displaystyle{ x \neq 0,}\)
Doprowadziłeś prawidłowo do postaci:
\(\displaystyle{ \left( t + x\frac{dt}{dx}\right)\cos(t) = t\cos(t) -1}\)
Po wymnożeniu lewej strony i zredukowaniu \(\displaystyle{ t\cos(t)}\)
\(\displaystyle{ t\cos(t) + x\cos(t)\frac{dt}{dx} = t\cos(t) -1,}\)
\(\displaystyle{ x\cos(t) \frac{dt}{dx} = -1,}\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ -\cos(t)dt = \frac{1}{x}dx,}\)
Całkujemy obustronnie
\(\displaystyle{ -\int \cos(t)dt = \int \frac{1}{x}dx,}\)
\(\displaystyle{ -\sin(t) + A = \ln|x|,}\)
\(\displaystyle{ x = \pm e^{-\sin(t) + A} = Ce^{-\sin(t)}= Ce^{-\sin( \frac{y}{x})}, \ C = \pm e^{A}.}\)
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 19:57 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: poprawa fragmentu kodu

Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Tomek_Fizyk-10 » 2 sie 2011, o 19:28

Wszystko się zgadza, tylko w swoich obliczeniach nie mogę dojść do tej postaci: \(\displaystyle{ \left( t + x\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \right) \cos(t) = t\cos(t) -1}\) , szczególnie chodzi o nawias po lewej stronie...
Jeśli możecie rozpisać mi pochodną \(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{dy} }}\) , tak by dojść do tego, co jest w tym nawiasie będę bardzo wdzięczny...
Przepraszam za kłopot i z góry dziękuję za pomoc!
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 22:34 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, skalowanie nawiasów.

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 20:01

A problem jest jaki?
równanie różniczkowe
Google


I masz plik doc, który wszystko wyjaśnia

Awatar użytkownika
Tomek_Fizyk-10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 20 lis 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biskupiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 3 razy

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: Tomek_Fizyk-10 » 3 sie 2011, o 10:05

Powracając do tajemniczego nawiasu: \(\displaystyle{ \left( t+x \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } \right)}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{y}{x}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x = \frac{y}{t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y } = \left( \frac{y}{t} \right) ' = \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d}y } \left( \frac{y}{t} \right) = \frac{y' \cdot t - y \cdot t'}{t ^{2} } = \frac{t - y \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y } }{t ^{2} } = \frac{t - \frac{y}{t} \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } }{t ^{2} } = \frac{t - x \cdot \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}x } }{t ^{2} }}\) ...
No i jak można dojść do tego tajemniczego nawiasu...?

miodzio1988

równanie różniczkowe jednorodne

Post autor: miodzio1988 » 3 sie 2011, o 12:25

miodzio1988 pisze:A problem jest jaki?
równanie różniczkowe
Google


I masz plik doc, który wszystko wyjaśnia
ehem....ciężko tak z google jest korzystać?

ODPOWIEDZ