Wykazanie zależności + wskazówka

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:05

Niech \(\displaystyle{ A, B \in \Omega}\) Wykaż, że jeśli zdarzenia A i B są niezależne, to również zdarzenia A i B' są niezależne.

Wskazówka. Skorzystaj z tego, że dla dowolnych zdarzeń A i B zachodzi: \(\displaystyle{ P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B')}\)
-------
Najpierw zapisuję warunek, by zdarzenia były niezależne:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)
Teraz korzystam ze wskazówki
\(\displaystyle{ [P(A \cap B) + P(A \cap B')] \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)
A dalej?

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:09

Skorzystaj z tego, że zdarzenia A i B są niezależne

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:15

\(\displaystyle{ P \left( A \cap B \right) = P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) \\ \left[ P \left( A \cap B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right) \\ \left[ P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right)}\)

W ten sposób?
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 00:20 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:17

No niech będzie. Teraz \(\displaystyle{ P(B')}\) wzorek na to masz. Zobaczymy co tam po wymnożeniu otrzymamy

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:19

Czy masz na myśli \(\displaystyle{ P(B') = 1 - P(B)?}\)
Admin: muszę stosować takie odstępy, zobacz, teraz w ogóle się nie wyświetla poprzednia wiadomość.

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:20

Tja. Wymnóż i zobaczymy co z tego wyjdzie.

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:27

\(\displaystyle{ \left[ P \left( A \right) \cdot P \left( B \right) + P \left( A \cap B' \right) \right] \cdot P \left( B' \right) = P \left( A \cap B' \right) [P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') ] \cdot (1 - P(B)) = P(A \cap B') P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') -P(A) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')}\)

W ten sposób mam to wymnożyć? Bo coś tak nagle skomplikowanie się zrobiło.

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:29

No skracają się niektóre rzeczy. To takie rzeczy też mam Ci pisać? Żebyś skracał to co się powtarza? No bez jaj

Btw nie za dużo Ci tych składników wyszło?
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 00:36 przez miodzio1988, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:35

miodzio1988 pisze:No skracają się niektóre rzeczy. To takie rzeczy też mam Ci pisać? Żebyś skracał to co się powtarza? No bez jaj
Nie nie, myślałem, że po prostu coś pokręciłem. No ale dobra, jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') -P(A) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B') P(A \cap B') -P(B) \cdot P(B) -P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B') -P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = 0 - P(B) \cdot P(B) = P(B) \cdot P(A \cap B') -P(B) = P(A \cap B')}\)

Dobrze?

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:37

Btw nie za dużo Ci tych składników wyszło?
dlaczego 5 składników masz??

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:45

O nie, wiedziałem, że gdzieś się walnę.
No to jadę jeszcze raz:
\(\displaystyle{ [P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') ] \cdot (1 - P(B)) = P(A \cap B') P(A) \cdot P(B) + P(A \cap B') - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) - P(B) \cdot P(A \cap B') = P(A \cap B')}\)
Teraz chyba dobrze. Więc dalej kombinuje:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(A \cap B') - P(A \cap B') + P(B) \cdot P(A \cap B')}\)
Mogę w ten sposób przenieść?

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:47

Możesz

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:53

Ok, chyba zrobiłem. Sprawdź, jeżeli możesz, czy dobrze:
\(\displaystyle{ P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(A \cap B') - P(A \cap B') + P(B) \cdot P(A \cap B') P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(B) \cdot P(B) = P(B) \cdot P(A \cap B') P(A) - P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B') P(A)[1 - P(B)] = P(A \cap B') P(A)[P(B) + P(B') - P(B)] = P(A \cap B') P(A) \cdot P(B') = P(A \cap B')}\)

miodzio1988

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: miodzio1988 » 2 sie 2011, o 00:55

Wróciłeś przecież do punktu wyjścia...

Awatar użytkownika
conseil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 11 lip 2009, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 4 razy

Wykazanie zależności + wskazówka

Post autor: conseil » 2 sie 2011, o 00:56

Hahaha faktycznie. Ale w ten sposób jest udowodnione czy nie? I co w takim razie zrobić?

ODPOWIEDZ