przedział zbieżności szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
adaptacja_film
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 6 razy

przedział zbieżności szeregu

Post autor: adaptacja_film » 1 sie 2011, o 23:03

Mam wyznaczyć przedział zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}\cdot x^{n}}{n^{2}\cdot \pi^{n}}}\)

żeby to wyznaczyć na samym początku liczę promień, który wyszedł tak: \(\displaystyle{ R=\frac{\pi}{4}}\)
tak więc nasz \(\displaystyle{ x}\) bedzie należał do przedziału \(\displaystyle{ x\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]}\)
i tu pojawia się problem skąd wiemy czy na krańcach będzie przedział otwarty czy zamknięty?
Liczy się zbieżność szeregu podstawiając te wartości za \(\displaystyle{ x}\), prawda?
obliczyłam

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(-\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi mi z tego \(\displaystyle{ -\pi}\) co wiąże się z tym że szereg jest zbieżny czyli musze dać przedział zamknięty
następnie obliczyłam

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{4^{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n}}{n^{2}\pi^{n}}}\) wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) czyli szereg rozbieżny i przedział otwarty

w odpowiedziach natomiast jest przedział zamknięty w obu tych przypadkach, co robię źle?
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 20:16 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

miodzio1988

przedział zbieżności szeregu

Post autor: miodzio1988 » 1 sie 2011, o 23:31

No te granice to akurat zero wynoszą...pokaż jak wyglądają te szeregi gdy wstawimy odpowiednie wartości \(\displaystyle{ x}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

przedział zbieżności szeregu

Post autor: Funktor » 1 sie 2011, o 23:36

adaptacja_film, Po wstawieniu skraca ci się \(\displaystyle{ 4 ^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \pi^{n}}\) i masz do policzenia granicę z \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) która to wynosi zero.
Ostatnio zmieniony 2 sie 2011, o 20:16 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

adaptacja_film
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 26 lip 2011, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 6 razy

przedział zbieżności szeregu

Post autor: adaptacja_film » 1 sie 2011, o 23:44

dzięki za pomoc, już wszystko jasne;) temat zakończony.

ODPOWIEDZ