[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: adamm » 1 sie 2011, o 13:48

\(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\ge0}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{1\le i,j \le n}\min\left(a_i,b_j\right)\right)^2 \le\sum_{1\le i,j \le n}\min\left(a_i,a_j\right)\cdot\sum_{1\le i,j \le n}\min\left(b_i,b_j\right)}\)
będę równie wdzięczny za rozwiązanie jak i podlinkowanie go/podanie źródła z rozwiązaniem.
Pozderki

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: szw1710 » 1 sie 2011, o 14:00

Trudno, żeby

\(\displaystyle{ \langle a,b\rangle=\sum_{1\le i,j \le n}\min\left(a_i,b_j\right)}\)

było iloczynem skalarnym wektorów \(\displaystyle{ a=(a_1,\dots,a_n)}\) i \(\displaystyle{ b=(b_1,\dots,b_n),}\) ale gdyby tak było, to jest to nierówność Schwarza. Po pierwszym oglądzie próbowałbym naśladować właśnie dowód nierówności Schwarza. Jeden z możliwych polega na analizie wyróżnika pewnego trójmianu kwadratowego, a mianowicie \(\displaystyle{ \langle a-tb,a-tb\rangle,}\) który jako trójmian zmiennej \(\displaystyle{ t}\) jest zawsze nieujemny, jeśli \(\displaystyle{ \langle a,b\rangle}\) jest iloczynem skalarnym. Niedodatniość wyróżnika to właśnie nierówność Schwarza. ZObacz, czy w tym duchu nie da się czegoś zrobić.

Awatar użytkownika
Burii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 maja 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska/Tarnów
Pomógł: 3 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: Burii » 1 sie 2011, o 18:21

Niech:

\(\displaystyle{ f _{i}(x)}\)= \(\displaystyle{ \begin{cases}1 \text{ dla } x \in \left[ 0,a_{i} \right] \\ 0 \text{ dla } x >a _{i} \end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ g _{i}(x}\))= \(\displaystyle{ \begin{cases}1 \text{ dla } x \in \left[ 0,b _{i} \right] \\ 0 \text{ dla } x >b_{i} \end{cases}}\)

i niech \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{i=1}^{n}f _{i} \left( x\right)}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \sum_{i=1}^{n}g _{i}(x)}\).

Wówczas \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f(x)g(x)dx= \int_{0}^{ \infty }( \sum_{i,j \in \left[ 1,n\right]}^ }f _{i}(x)g _{j}(x) )dx=\sum_{i,j \in \left[ 1,n\right]}^ } \int_{0}^{ \infty }f _{i}(x)g _{j}(x)dx=\sum_{i,j \in \left[ 1,n\right]}^ }\min(a _{i}, b _{j})}\)

Podobnie uzyskujemy iż:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f^2(x)dx=\sum_{i,j \in \left[ 1,n\right]}^ }\min(a _{i},a _{j})}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }g^2(x)dx=\sum_{i,j \in \left[ 1,n\right]}^ }\min(b _{i},b _{j})}\). Tezę zadania uzyskujemy po zastosowaniu nierówności Schwarza dla \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }f^2(x)dx}\) i \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }g^2(x)dx}\).
Ostatnio zmieniony 1 sie 2011, o 21:40 przez Burii, łącznie zmieniany 1 raz.

pawels
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 33 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: pawels » 3 sie 2011, o 00:39

Można jeszcze dodać, że ta forma dwuliniowa nie jest iloczynem skalarnym bo jest jedynie dodatnio półokreślona, więc w nierówności Schwarza nie obowiązuje znany przypadek równości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: szw1710 » 3 sie 2011, o 09:28

Zaraz jadę na wakacje Poczytam sobie za dwa dni.

Ale wobec tego jedno pytanie, bo naprędce nie potrafię sam sobie odpowiedzieć. Czy dla form, o których piszesz (dodatnio półokreślonych) też zachodzi nierówność Schwarza, czy w każdym przypadku takiej formy potrzebny jest osobny dowód, bo są formy, dla których nierówność zachodzi, a są formy, dla których nie?

brzoskwinka1

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: brzoskwinka1 » 3 sie 2011, o 15:01

Niech \(\displaystyle{ f:V\times V \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie formą dwuliniową taką, że \(\displaystyle{ f(v,v) \ge 0}\) wówczas
\(\displaystyle{ \forall_{t\in \mathbb{R}} 0 \le f(x-tu ,x-tu)=f(x,x)-2t f(x,u) +t^2 f(u,u)}\)
gdyby \(\displaystyle{ f(u,u)=0}\) to z powyższego widać, że \(\displaystyle{ f(x,u)=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in V.}\) jeśli natomiast \(\displaystyle{ f(u,u)>0}\) to musi być \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) i dostajemy nierówność Schwarza.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: szw1710 » 4 sie 2011, o 15:03

To ja wiem, zresztą sam sugerowałem taki dowód. Moje pytanie było o to, czy sama nieujemna określoność bez założenia dwuliniowości wystarczy na nierówność Schwarza. W przypadku omawianej w zadaniu formy wystarczyła, ale pytałem czy tak jest ogólnie. Powtórzę - opuszczamy założenie dwuliniowości.

brzoskwinka1

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: brzoskwinka1 » 4 sie 2011, o 17:02

szw1710 pisze: Moje pytanie było o to, czy sama nieujemna określoność bez założenia dwuliniowości wystarczy na nierówność Schwarza. W przypadku omawianej w zadaniu formy wystarczyła, ale pytałem czy tak jest ogólnie. Powtórzę - opuszczamy założenie dwuliniowości.
Trochę mnie dziwi Twoje pytanie bo wystarczy wziąźć
\(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x,y)=|x|+|y|-x-y}\) aby się przekonać, że ta nierówność nie zachodzi.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

[Nierówności] Trudna (?) nierówność

Post autor: szw1710 » 4 sie 2011, o 20:32

Czemu dziwi? Po prostu nie miałem czasu na dogłębną analizę problemu, a sformułowanie jednego z poprzednich postów zainteresowało mnie. Przykład masz poprawny, dziękuję za jego wskazanie.

Nawet zawodowy matematyk może o coś zapytać i nie musi wszystkiego na poczekaniu wiedzieć. Nawet ponad 20-letnie doświadczenie wraz ze wszystkimi stopniami naukowymi nie czynią z człowieka alfy i omegi. Od tego jest forum - m. in. od dyskusji o ciekawych rzeczach.

ODPOWIEDZ