Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: kamil13151 » 1 sie 2011, o 12:18

Dla jakich wartości parametru m równanie \(\displaystyle{ mx^2+2x+m-2=0}\) ma dwa pierwiastki mniejsze od 1?

Na początku warunek \(\displaystyle{ m \neq 0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >0}\) wyszło mi \(\displaystyle{ m \in \left( 1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} \right)}\).

Teraz rozpatruję dla \(\displaystyle{ m>0}\).
Musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)>0 \\ x_w<1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m>0 \\ m>-1 \end{cases} \Rightarrow m>0}\)

Teraz rozpatruję dla \(\displaystyle{ m<0}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(1)<0 \\ x_w<1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m<0 \\ m>-1 \end{cases} \Rightarrow m \in (-1;0)}\)

Niestety, moja odpowiedź jest nieco inna: \(\displaystyle{ m \in \left( 1- \sqrt{2};1+ \sqrt{2} \right) \setminus \left\{ 0\right\}}\), a w książce jest \(\displaystyle{ m \in (0;1+ \sqrt{2})}\).

Czy gdzieś jest błąd?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: pyzol » 1 sie 2011, o 12:51

\(\displaystyle{ x_w<1\\ \frac{-2}{2m}<1|\cdot m\\ -1>m\\ m<-1}\)
m w tym wypadku ujemne, dlatego zmieniamy znak. Tam chyba miałeś błąd.
A podam Ci jeszcze alternatywne rozważanie przypadków.
I pierwiastki mają być mniejsze od 1, więc jeśli przesuniemy wykres o 1 w lewo, to będą mniejsze od 0:
\(\displaystyle{ m(x+1)^2+2(x+1)+m-2=0\\ mx^2+2(m+1)x+2m=0}\)
O ile si gdzieś nie pomyliłem, w liczeniu (tak na szybko). Teraz typowe wzory Viete'a.
II
\(\displaystyle{ x_1<1\\ x_2<1\\ \begin{cases} x_1-1<0 \\ x_2-1<0 \end{cases}}\)
Po wymnożeniu mamy:
\(\displaystyle{ x_1 x_2-x_1-x_2+1>0}\)
Po dodaniu mamy:
\(\displaystyle{ x_1+x_2<2}\)
Wzory Viete'a w obu przypadkach.

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: kamil13151 » 1 sie 2011, o 13:06

No fakt, tam miałem błąd, dzięki . Co do metody drugiej to możemy mnożyć i dodawać nierówności?

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: pyzol » 1 sie 2011, o 13:13

Nierówności dodawać możemy bez problemu o ile są skierowane w tym samym kierunku.
Jeśli chodzi o mnożenie, to raczej bardziej się opierana, tzn. \(\displaystyle{ x_1-1,x_2-1}\) są liczbami ujemnymi, więc jak je pomnożymy, dostaniemy liczbę dodatnią. Jeśli chodzi o drugi sposób, to też pewności nie mam, czy wypełni on wszystkie warunki. Sam nigdy nim nie robiłem, ale kiedyś padła taka propozycja i to od osoby, która raczej wie co pisze...

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: kamil13151 » 1 sie 2011, o 13:19

Rozwiązałem tą drugą metodą i wynik jest dobry.

Dzięki .

Dusiol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 wrz 2011, o 21:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: Dusiol » 20 sty 2015, o 20:22

Odkopuję temat, bo chciałbym zapytać o warunek z deltą. Dlaczego delta musi być większa od zera, a nie większa lub równa zeru, skoro w poleceniu napisane jest "dwa pierwiastki", a nie "dwa RÓŻNE pierwiastki"?

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: Zahion » 20 sty 2015, o 20:26

jeśli delta wynosi zero, to czy nie istnieje jeden, ale podwójny pierwiastek ?

Dusiol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 27 wrz 2011, o 21:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: Dusiol » 20 sty 2015, o 21:01

Ja również się ku temu skłaniam (chociaż skoro pierwiastek jest podwójny, to można zakładać, że są dwa pierwiastki, tylko identyczne - dlatego wykres funkcji "odbija się" względem osi x, czego nie ma przy pojedynczym pierwiastku), ale niestety w zadaniach piszą często różnie. Ogólnie w podręczniku umówiono się, że jeśli nie jest napisane "dwa różne", tylko "dwa", to delta ma być większa bądź równa zeru. Ale jednocześnie w różnych zadaniach podają różne sprzeczne z umową założenia.

Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: musialmi » 20 sty 2015, o 21:04

Ja tam ze szkoły wyniosłem, że delta równa zero oznacza jeden podwójny, a nie dwa pierwiastki.

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: pawlo392 » 16 lis 2015, o 19:44

Dlaczego w tym zadaniu korzystając z takiego założenia :\(\displaystyle{ x _{1} \cdot x _{2} \le 0}\) nie mogę otrzymać poprawnego wyniku?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki

Post autor: piasek101 » 16 lis 2015, o 21:24

Bo Twoje założenie przetłumaczone to : mam jeden pierwiastek dodatni (lub zerowy) i drugi ujemny (lub zerowy).

Co ma niewiele wspólnego z mniejszymi od 1.

ODPOWIEDZ