Oblicz pochodną funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: diego_maradona » 1 sie 2011, o 01:57

1) \(\displaystyle{ x ^{\sin x}}\)
2) \(\displaystyle{ x ^{x ^{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2011, o 03:13 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: Althorion » 1 sie 2011, o 03:13

Jaki masz z tym problem? Jedyny wzór, jakiego tak naprawdę potrzebujesz, to wzór na pochodną funkcji złożonej:
\(\displaystyle{ \left[g(f)\right]' = g'(f)\cdot f'}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: Funktor » 1 sie 2011, o 10:13

Althorion, Nie powiedziałbym że po tym co napisałeś jest to takie oczywiste.

diego_maradona, rzeczą która pozwoli ci wyznaczyć te pochodne to obserwacja że \(\displaystyle{ f^{g} =e^{g\ln(f)}}\)

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: wiskitki » 1 sie 2011, o 11:03

Funktor, zauważ że on to pisał o trzeciej nad ranem Jeżeli chodzi o tego typu pochodne, to trzeba po kolei zamieniać na logarytm, np. Przykład drugi \(\displaystyle{ x^{x^2}=e^{\ln x^{x^2}}=e^{x^2 \ln x}}\). Teraz liczysz to jak pochodną \(\displaystyle{ e^x}\), czyli \(\displaystyle{ e^x\cdot x'}\), musisz policzyć pochodną funkcji wewnętrznej \(\displaystyle{ e^{x^2 \ln x}}\), a to już pochodna iloczynu.
Ostatnio zmieniony 1 sie 2011, o 17:56 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: Lorek » 1 sie 2011, o 11:46

Jest też coś takiego jak pochodna logarytmiczna, choć w zasadzie sprowadza się to do tego z zamianą na \(\displaystyle{ e^{...}}\).

diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: diego_maradona » 1 sie 2011, o 17:16

Ok, Wasz sposób jest dobry, ale dlaczego nie można tego typu przykładów zrobić tak jak chciał Althorion?

Awatar użytkownika
miki999
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8691
Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1001 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: miki999 » 1 sie 2011, o 17:32

Jak określisz jaka funkcja to \(\displaystyle{ f}\) a jaka \(\displaystyle{ g}\) to można


Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: Althorion » 1 sie 2011, o 18:51

Funktor, zauważ że on to pisał o trzeciej nad ranem
I do tej pory nie zasnął... Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

Awatar użytkownika
wiskitki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 29 kwie 2011, o 21:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 176 razy
Pomógł: 29 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: wiskitki » 1 sie 2011, o 19:03

Althorion, ja nie twierdzę że źle mówisz, bo to wszystko to jest funkcja złożona i trzeba też wykorzystać ten wzór. Po prostu autor tematu musi ogarnąć jaka jest różnica między liczeniem pochodnej z \(\displaystyle{ x^x}\) a np. \(\displaystyle{ \sin(2x)}\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2011, o 19:49 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol sinusa to \sin

diego_maradona
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 184
Rejestracja: 16 cze 2010, o 00:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 80 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: diego_maradona » 1 sie 2011, o 21:12

dobra już wiem, żeby skorzystać z tych szybkich wzorów na pochodne to albo podstawa potęgi albo wykładnik nie może być argumentem funkcji.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6296
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1358 razy

Oblicz pochodną funkcji

Post autor: janusz47 » 1 sie 2011, o 21:26

Jest jeszcze jeden sposób z wykorzys an i em pochodnej log a rytmicznej:
Na przykład
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^{ \sin \left( x \right) } \\ \ln \left( f \left( x \right) \right) = \sin \left( x \right) \cdot \ln \left( x \right) \\ \frac{1}{f \left( x \right) }\cdot f' \left( x \right) = \cos \left( x \right) \cdot \ln \left( x \right) + \sin \left( x \right) \cdot \frac{1}{x} \\ f' \left( x \right) = x^{ \sin \left( x \right) } \left( \cos \left( x \right) \cdot \ln \left( x \right) + \sin \left( x \right) \cdot \frac{1}{x} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 1 sie 2011, o 23:42 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Logarytm naturalny to \ln, do łamania wierszy służy: \\, nie trzeba stosować tylu klamer [latex][/latex].

ODPOWIEDZ