Matematyka.pl

Jestem w trakcie przygotowań do OM. Oto kilka zadań które są dla mnie trudne (nie potrafię ich zrobić):


1. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ \ x,y,z}\) spełniaja warunek \(\displaystyle{ \ x+y=z=1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \ (1+ \frac{1}{x} )(1+ \frac{1}{y} )(1+ \frac{1}{z}) \ge 64}\). ( W tym zadaniu po topornych mnożeniach i kilku podstawieniach uzyskałem tezę na mocy nierówości między średnią arytmetyczną , a
geometryczną. Liczę na jakieś bardziej błyskotliwe i sprytniejsze rozwiązanie.

2.Liczby dodatnie \(\displaystyle{ \ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \ xyz=1}\). Udowodnij,że
\(\displaystyle{ \ (x+2y)(y+2z)(z+2x) \ge 27}\). (Tutaj jestem zupełnie w kropce. Starałem się wykorzystać
założenie korzystając na mocy nierówności pomiedzy średnimi, ale nic to nie dało.)

3. Udowodnij,że dla dowolnych \(\displaystyle{ \ a,b,c}\) należących do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich
zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \ 3 + (a+b+c) + ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) +( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}) \ge \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}}\). (tutaj mój pomysł na nierówność polegał na tym ,że zauważyłem , że lewa strona nierówności jest większa równa 12(na mocy między średnimi) , stąd wywnioskowałem ,że 12 jest większe równe prawej stronie potem dokonałem prostych przekształceń i otrzymałem nierówność \(\displaystyle{ \ 3 \ge \frac{abc+ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1}}\) i dalej nie potrafiłem tego pociągnąc).

4.Niech \(\displaystyle{ \ a,b,c}\) będą długościami boków trójkąta . Boki te spełniają równość \(\displaystyle{ \ ab+bc+ac=27}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \ 9 \le a+b+c<11}\). ( Tutaj nawet nie miałem pomysłu na zrobienie tego).

5. W liczbach rzeczywistych rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \ \sqrt{x} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-2} = \frac{1}{2}(x+y+z)}\). ( Zupełnie nie wiem co zrobić. Czy skorzystać z jakiejś nierówności (Schwarz nie działa) i zbadać kiedy jest równością i tak otrzymać rozwiązanie).

6. W liczbach naturalnych rozwiąż równania
a) \(\displaystyle{ \ (y+1) ^{x}=y!}\).
b) \(\displaystyle{ \ 1! + 2! + 3! + ..... + (x+1)! =y ^{z+1}}\) . (Na forum spotkałem się z tym równaniem ale za bardzo
nie zrozumiałem. Proszę o dokładne wyjaśnienia równań z zadania 6.)

7. Dany jest trójkat ostrokątny \(\displaystyle{ \ ABC}\) , przy czym \(\displaystyle{ \ \sphericalangle ACB =60}\).
Punkty \(\displaystyle{ \ D \ i \ E}\) sa rzutami prostokatnymi odpowiednio
punktów\(\displaystyle{ \ A \ i \ B}\)na proste \(\displaystyle{ \ BC \ i \ AC}\) . Punkt \(\displaystyle{ \ M}\) jest
srodkiem boku \(\displaystyle{ \ AB}\) . Wykazac, ze trójkat \(\displaystyle{ DEM}\) jest równoboczny.

8. Punkt \(\displaystyle{ \ O}\) jest srodkiem okregu opisanego na trójkącie
\(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ \ D}\) jest rzutem prostokatnym punktu
\(\displaystyle{ \ C}\) na prosta \(\displaystyle{ \ AB}\) . Wykazac, ze
\(\displaystyle{ \sphericalangle ACD= \sphericalangle BCO}\).
(W zadaniach 7,8 liczę na jakieś wskazówki.)

Narazie to tyle. Z góry dziękuje. Wiem ,że zadania te wydają się proste dla ludzi , którzy znają się na
matmie olimpijskiej. Ja dopiero co zaczęłem poruszać się w tym rodzaju zadań.
Pozdrawiam MrG.

Vax, ja se na luzie przepisuję jedno rozwiązanie, a ty oczywiście połowę musiałeś już zaspamić. Masz parcie na szkło xD

Rozwiązanie 3 Binaja można uznać za ładne, wzorcowe rozwiązanie ( z wędrówek po krainie) jest takie że wymnażamy 2 razy na pałę potem grupujemy i jakoś wychodzi.

Vax, naucz mnie robić tak fajnie zadania jak 6a.

A jeszcze szybciej i prościej 6a:
Pzdr

nie, nie podoba mi się
pozdrawiam

Rozwiązanie Vaxa jest zdecydowanie bardziej elementarne.

Nie pozdrawiam.

Rozwiązania Vax'a jest bardziej elementarne i eleganckie . Ja chciałbym wiedzieć na jakiej zasadzie i dlaczego skorzystałeś z tego postulatu. I wyjaśnić krok po kroku jego wykorzystanie w tym równaniu.

Dowód tw. Czebyszewa jest równie elementarny. Kilka ostrych lematów...

Nie chodzi mi o dowód tw. Czybyszewa ale o to jak Vax skorzystał z niego w tym równaniu. Mógłby
ktoś mi to wyjaśnić.

Django, Matematyka.pl powinna wziąć przykład z facebooka, powinno być " lubię to "

Jeśli dobrze rozumiem to zastosowanie to chodzi o to, że prawa strona będzie podzielna przez jakąś liczbę pierwszą - która istnieje w tej silni (wykazane Bertrandem), a lewa strona też musi być przez nią podzielna. Ale wtedy lewa strona będzie potęgą tej liczby pierwszej. Co prowadzi do wniosku, że lewa strona jest x razy podzielna przez liczbę pierwszą i tylko przez nią, zaś prawa strona to iloczyn liczby pierwszej i jeszcze jakichś tam liczb. I tu dochodzimy do sprzeczności.
Funktor, co chcesz polubić?

Twój post ;]

Zle rozumiesz. A w swoim rozwiazaniu korzystasz chyba z tego, ze dla jesli y jest nieparzyste to y+1 jest potega 2, wygodne.