Całka wymierna

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
szymon1234513
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Całka wymierna

Post autor: szymon1234513 » 31 lip 2011, o 18:08

Witam mam problem z taką całką:

\(\displaystyle{ \int \frac{x-2}{ x^{2}+x-2 } \mbox{d}x}\)

Proszę o pomoc gdyż mam wynik jaki powinien wyjść, a mi nie chce w żaden sposób taki wyjść jak powinien, nie wiem co źle robię...

Najpierw liczę deltę z równania w mianowniku. Wychodzi mi \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Potem rozkładam to równanie na sumę ułamków prostych i współczynnik \(\displaystyle{ A=- \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ B= \frac{1}{3}}\)

Wynik to u mnie: \(\displaystyle{ -\frac{1}{3} \ln|x+2|+ \frac{1}{3}|x-1|+C}\)
A wynik w odpowiedziach: \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\ln|x+2| - \frac{1}{3} \ln|x-1|+C}\)

Proszę o pomoc...
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 23:28 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Logarytm naturalny zapisuj jako \ln.

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Całka wymierna

Post autor: cosinus90 » 31 lip 2011, o 18:10

Przedstaw, jak dokładnie obliczasz te współczynniki. Tylko tam może tkwić błąd (zakładając, że odpowiedzi są poprawne).

szymon1234513
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Całka wymierna

Post autor: szymon1234513 » 31 lip 2011, o 18:17

\(\displaystyle{ A(x-1)+B(x+2)=1 \\ Ax-A+Bx+B2=1}\)

\(\displaystyle{ A+B=0}\) czyli \(\displaystyle{ A=-B}\)
\(\displaystyle{ -A+2B=1}\)

\(\displaystyle{ B+2B=1 \\ 3B=1 \\ B= \frac{1}{3}}\)
więc jeżeli \(\displaystyle{ A=-B}\) to \(\displaystyle{ A= -\frac{1}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 23:29 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Całka wymierna

Post autor: » 31 lip 2011, o 18:18

szymon1234513 pisze:\(\displaystyle{ A(x-1)+B(x+2)=1}\)
Dlaczego \(\displaystyle{ =1}\)?

Q.

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Całka wymierna

Post autor: Funktor » 31 lip 2011, o 18:20

Ja bym zrobił to inaczej, rozbij to na sumę dwóch całek, w wyrażeniu gdzie masz w liczniku \(\displaystyle{ x}\), dodaj i odejmij 1 i znowu rozbij na sumę dwóch całek. A to co masz scałkujesz już łatwo do logarytmu i arkus tangensa

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Całka wymierna

Post autor: » 31 lip 2011, o 18:25

Funktor pisze: A to co masz scałkujesz już łatwo do logarytmu i arkus tangensa
Jesteś pewien?

Q.

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Całka wymierna

Post autor: Funktor » 31 lip 2011, o 18:29

Cholera, źle całkę do zeszytu przepisałem : /-- 31 lip 2011, o 18:30 --No to arkus tangensa nie będzie, ale sposób pozostaje bez zmian..

szymon1234513
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Całka wymierna

Post autor: szymon1234513 » 31 lip 2011, o 18:32

Powinno być:

\(\displaystyle{ x-2=A(x-1)+B(x+2)}\)?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Całka wymierna

Post autor: » 31 lip 2011, o 18:35

Funktor pisze:sposób pozostaje bez zmian.. :)
Tylko po co tak długo? Skoro i tak trzeba rozłożyć na ułamki proste, to nie ma sensu na początku wykonywać dodatkowego kroku z rozbijaniem na dwie całki (co zresztą prowadzi do skomplikowania postaci wyniku).

Szymon - tak.

Q.

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Całka wymierna

Post autor: Funktor » 31 lip 2011, o 18:39

,

To co potem się uzyskuje można prościej rozłożyć na ułamki proste, , nawet w pamięci, a wynik nie jest bardziej skomplikowany tylko prostszy ;]

szymon1234513
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 20 lis 2009, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Całka wymierna

Post autor: szymon1234513 » 31 lip 2011, o 19:52

Dzięki panowie... ;]

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Całka wymierna

Post autor: cosinus90 » 1 sie 2011, o 13:31

Funktor, chodzi o ilość operacji - w Twoim sposobie trzeba rozbić wyrażenie podcałkowe a potem rozłożyć na ułamki proste, a w sposobie, który został tutaj zastosowany, trzeba rozłożyć na ułamki proste.
P.S. Spójrz na mój podpis

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

Całka wymierna

Post autor: Funktor » 1 sie 2011, o 21:14

cosinus90, Zobacz mój drugi podpis :> Chodzi mi o ideę, czasami takie 2 dodatkowe kroki prowadzą do prostego rozkładu na ułamki proste, zamiast babrania się z długich mnożeniach które prowadzą potem do układu równań 8 na 8 .

ODPOWIEDZ