granica funkcji dwóch zmiennych

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: rodzyn7773 » 31 lip 2011, o 12:33

Zadanie 1.18 z Krysickiego II tom. Sprawdź czy istnieje a jeśli tak to ile wynosi granica funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^3+y}{2x^2+y^4}}\)
w punkcie (0,0).
Doszedłem nie daleko z tym przykładem:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x^3+y}{2x^2+y^4}= \frac{x^3}{2x^2+y^4} + \frac{y}{2x^2+y^4}}\)
W tym momencie korzystam z poprzedniego przykładu bo granica pierwszego czynnika w sumie wynosi 0 w punkcie (0,0). Pytanie jak policzyć granicę drugiego czynnika.
Pewnie będę poszerzał ten post o kolejne granice funkcji dwóch zmiennych, których nie będę umiał rozwiązać.

To od razu dam drugi przykład, taka sama treść:
\(\displaystyle{ g(x,y)= \frac{y^3}{x^4+\sin^2y}}\) przy \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (0,0)}\)
Ostatnio zmieniony 31 lip 2011, o 13:08 przez rodzyn7773, łącznie zmieniany 1 raz.

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Kamil_B » 31 lip 2011, o 13:07

Poszukaj odpowiednich podciągów.

rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: rodzyn7773 » 31 lip 2011, o 13:16

W zasadzie szukam ich od pewnego czasu i nie mogę wpaść na żaden odpowiedni. Może jakaś podpowiedź odnośnie postaci tych podciągów.

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Kamil_B » 31 lip 2011, o 13:24

Np. \(\displaystyle{ x_n=0}\) natomiast \(\displaystyle{ y_n}\) jakiś prosty, byle zbieżny do zera

rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: rodzyn7773 » 31 lip 2011, o 13:38

W odpowiedzi mam że nie ma granicy a gdy wstawię \(\displaystyle{ x_n=0 \ , \ y_n= \frac{a}{n}}\) to mam
\(\displaystyle{ f(x_n,y_n)= \frac{1}{y_n^3} = \frac{n^3}{a^3} \rightarrow \infty}\)
I teraz kwestia czy wtedy mówimy zbieżny do nieskończoności czy rozbieżny. Bo dla mnie jeśli nie ma granicy to bardziej przemawia że dla różnej pary podciągów otrzymam różną granicę. Wiesz może jak to odpowiednio zinterpretować?

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Kamil_B » 31 lip 2011, o 14:21

Mówienie o zbieżności do nieskończoności czy też rozbieżności to raczej kwestia umowy.
Tutaj jednak granicy nie ma, a by to zauważyć, to zamień teraz wartosciami \(\displaystyle{ x_n}\) oraz \(\displaystyle{ y_n}\), co w połączniu z tym co już masz da to o co chodzi

rodzyn7773
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1659
Rejestracja: 12 lip 2009, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Rawa Maz.
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 278 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: rodzyn7773 » 31 lip 2011, o 14:28

Aha teraz widać wszystko. Dzięki za pomoc.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9325
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2040 razy

granica funkcji dwóch zmiennych

Post autor: Dasio11 » 31 lip 2011, o 14:45

Dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^2} \right)}\) masz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f \left(x_n, y_n \right) = \frac{1}{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, 0 \right)}\) masz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f \left(x_n, y_n \right) = 0}\)

Ogólnie, jeśli masz przykład typu

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} F(x, y) = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^a + x^by^c + y^d}{x^e + x^fy^g + y^h}}\)

to spróbuj podstawić \(\displaystyle{ y=x^p.}\) Wtedy rząd licznika to \(\displaystyle{ R_l(p)=\min \{ a, b+cp, dp \}}\) a rząd mianownika - \(\displaystyle{ R_m(p)= \min \{ e, f+gp, hp \}.}\)

Jeśli da się znaleźć takie \(\displaystyle{ p_1,}\) że \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) < R_m \left( p_1 \right),}\) to oczywiście dla \(\displaystyle{ \left(x_n, y_n \right) = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n^{p_1}} \right)}\) będzie

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left| F \left(x_n, y_n \right) \right| = \infty}\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) = R_m \left( p_1 \right),}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} F \left(x_n, y_n \right) = g \in (0, \infty)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ R_l \left( p_1 \right) > R_m \left( p_1 \right),}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} F \left(x_n, y_n \right) = 0}\)

ODPOWIEDZ