Gwiazdka Hodge'a - zastosowania

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Analizy.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Gwiazdka Hodge'a - zastosowania

Post autor: Wasilewski » 30 lip 2011, o 15:39

W algebrze liniowej iloczyn skalarny pozwala na utożsamienie przestrzeni wektorowej z jej dualną. Podobnie, w geometrii różniczkowej, metryka riemannowska na rozmaitości pozwala zamieniać pola wektorowe na 1-formy. Dodatkowo, gdy rozważana rozmaitość (n-wymiarowa) jest zorientowana, to można utożsamiać p-formy z (n-p)-formami; tym zajmuje się właśnie gwiazdka Hodge'a.

Załóżmy zatem, że mamy n-wymiarową zorientowaną rozmaitość z metryką Riemanna \(\displaystyle{ g}\); nazwijmy ją \(\displaystyle{ M}\). Wówczas na \(\displaystyle{ M}\) istnieje forma objętości wyznaczona przez metrykę i orientację: w dowolnych lokalnych współrzędnych \(\displaystyle{ (x_{1}, \ldots, x_{n})}\) ma ona postać \(\displaystyle{ \mbox{dvol}_{M} = \sqrt{\det(g_{ij})} dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ g_{ij} = g(\partial_{x_{i}},\partial_{x_{j}})}\). Zauważmy dodatkowo, że metryka \(\displaystyle{ g}\) wyznacza również iloczyn skalarny na 1-formach (które utożsamiamy z polami wektorowymi), a w konsekwencji, na p-formach, co wymaga komentarza. Wystarczy taki iloczyn zdefiniować na formach postaci \(\displaystyle{ e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{p}}\), a na dowolne rozszerzymy za pomocą dwuliniowości. Definiujemy zatem iloczyn skalarny wzorem \(\displaystyle{ \langle e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{p}, f^{1}\wedge \ldots \wedge f^{p}\rangle = \det(g(e^{i},f^{j}))}\). W końcu definiujemy gwiazdkę Hodge'a jako takie przekształcenie \(\displaystyle{ \star}\) z p-form do (n-p)-form, że dla dowolnej p-formy \(\displaystyle{ \omega}\) prawdziwa jest następująca zależność:
\(\displaystyle{ \omega \wedge \star \eta = \langle \omega, \eta \rangle \mbox{dvol}_{M}\quad (*)}\).
Teraz należy uwierzyć, że w ogóle istnieje tak zdefiniowany operator i jest on wyznaczony jednoznacznie. Liczy się to w następujący sposób (to w zasadzie dowód istnienia, a jednoznaczność jest w miarę jasna): w mapie wybieramy dodatnio zorientowaną bazę 1-form \(\displaystyle{ (e^{1},\ldots,e^{n})}\) i definiujemy \(\displaystyle{ \star(e^{i_{1}}\wedge \ldots e^{i_{p}}) = \pm e^{i_{p+1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ (i_{1},\ldots,i_{n})}\) jest taką permutacją zbioru \(\displaystyle{ \{1, \ldots n\}}\), że spełniona jest równość \(\displaystyle{ (*)}\).

Przejdźmy wreszcie do obliczeń, bo do tego ma nam posłużyć gwiazdka Hodge'a (przynajmniej w tym tekście). Wyznaczymy postać laplasjanu we współrzędnych sferycznych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\); jest to standardowe i nieprzyjemne ćwiczenie przeprowadzane chociażby na kursie mechaniki kwantowej. W tym celu zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \star dx = dy\wedge dz, \ \star dy = dz\wedge dx, \ \star dz = dx\wedge dy}\).
Przypomnijmy, że współrzędne sferyczne są zdefiniowane przez następujące równości:
\(\displaystyle{ x = r \sin(\theta) \cos(\varphi) \\ y = r \sin(\theta) \sin(\varphi) \\ z = r \cos(\theta)}\)
Stąd łatwo wyliczamy, że:
\(\displaystyle{ dx = \sin(\theta) \cos(\varphi) dr +r\cos(\varphi)\cos(\theta) d\theta - r\sin(\theta)\sin(\varphi) d\varphi \\ dy = \sin(\theta) \sin(\varphi) dr +r\sin(\varphi)\cos(\theta) d\theta + r\sin(\theta)\cos(\varphi) d\varphi \\ dz = \cos(\theta) dr - r\sin(\theta) d\theta}\)
Pamiętając, że metryka na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) wyraża się wzorem \(\displaystyle{ g=dx^2 +dy^2 + dz^2}\), gdzie \(\displaystyle{ ds^2 \stackrel{\mbox{de}\mbox{f}}{=} ds \otimes ds}\), wyraźmy ją teraz za pomocą zmiennych \(\displaystyle{ (r,\theta,\varphi)}\). Metodą głębokiego wpatrywania stwierdzamy, że nie ma wyrazów pozadiagonalnych, więc łatwo otrzymujemy:
\(\displaystyle{ dx^2+dy^2+dz^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^{2}(\theta)d\varphi^2}\).
Stąd wnioskujemy, że trójka \(\displaystyle{ (dr, r d\theta, r \sin(\theta) d\varphi)}\) jest ortonormalną bazą 1-form, ponadto jest ona dodatnio zorientowana, co łatwo widać po przejściu do dualnych pól wektorowych. Teraz możemy wyznaczyć wynik działania gwiazdki Hodge'a na bazowych formach:
\(\displaystyle{ \star dr = r^2 \sin(\theta) d\theta\wedge d\varphi \\ \star d\theta = \sin(\theta) d\varphi \wedge dr \\ \star d\varphi = \frac{1}{\sin(\theta)} dr \wedge d\theta}\).
Mam nadzieję, że łatwym ćwiczeniem dla czytelnika będzie sprawdzenie, iż prawdziwa jest zależność \(\displaystyle{ \star d \star d f = \bigtriangleup f}\). Korzystając z tego, wyznaczymy postać laplasjanu we współrzędnych sferycznych:
\(\displaystyle{ \bigtriangleup f = \star d \star \left(\frac{\partial f}{\partial r} dr + \frac{\partial f}{\partial \theta} d\theta + \frac{\partial f}{\partial \varphi} d\varphi\right) = \\ \star d \left(r^2 \sin(\theta) \frac{\partial f}{\partial r} d\theta\wedge d\varphi + \sin(\theta) \frac{\partial f}{\partial \theta} d\varphi\wedge dr + \frac{1}{\sin(\theta)} \frac{\partial f}{\partial \varphi} dr\wedge d\theta\right) = \\ \star ( \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right)\sin(\theta) dr \wedge d\theta \wedge d\varphi +\frac{1}{r^{2}\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) r^{2}\sin(\theta) d\theta\wedge d\varphi\wedge dr + \frac{1}{r^2 \sin^{2}(\theta)} \frac{\partial^{2} f}{\partial \varphi^{2}} r^2\sin(\theta) d\varphi\wedge dr \wedge d\theta) = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin(\theta) \frac{\partial f}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^{2}(\theta)} \frac{\partial^{2} f}{\partial \varphi^{2}}}\)
Zatem ostatecznie:
\(\displaystyle{ \bigtriangleup = \frac{1}{r^2} \frac{ \partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^{2}(\theta)} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}}\).
Wydaje mi się, że to podejście jest o niebo przyjemniejsze od standardowego, zaprezentowanego, na przykład, tutaj.
Mam nadzieję, że to zachęci do studiowania głębszych własności gwiazdki Hodge'a i w ogóle form różniczkowych.

Bibliografia:
John C. Baez, Javier P. Munianin: Gauge fields, knots and gravity.

Zablokowany