Dowód nierówności

[dawid3690]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k > 3}\), liczba postaci \(\displaystyle{ k ^{3} + 3k ^{2} - 4k - 12}\) jest iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.

[RSM]

Gdzie tu widzisz nierówność do udowadniania?

Nie ma co się w indukcję bawić. Rozłóż to wyrażenie na czynniki, a dalej łatwo.

[kamil13151]

Jako takie rozwiązanie mam, wyśmienite nie jest, ale jest .

rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ k ^{3} + 3k ^{2} - 4k - 12=(k-2)(k+2)(k+3)}\)

Dla \(\displaystyle{ k}\) parzystego:
\(\displaystyle{ (k-2)}\) - jest parzyste, tylko dla \(\displaystyle{ k=4}\) nie jest rozkładalne wyrażenie do liczby pierwszej (jedynka takową nie jest), dla \(\displaystyle{ k>4}\) ma co najmniej 2 liczby pierwsze, ponieważ każdą liczbę parzystą (dla \(\displaystyle{ k \ge 6}\)) można rozłożyć.
\(\displaystyle{ (k+2)}\) - jest parzyste i zawsze można rozłożyć na co najmniej 2 liczby pierwsze.
\(\displaystyle{ (k+3)}\) - jest nieparzyste i czasami można rozłożyć na co najmniej 2 liczby pierwsze.
Sumując wychodzi, że jest min. 4 liczby pierwsze.

Dla \(\displaystyle{ k}\) nieparzystego:
\(\displaystyle{ (k-2)}\) - jest nieparzyste i czasami można rozłożyć na co najmniej 2 liczby pierwsze.
\(\displaystyle{ (k+2)}\) - jest nieparzyste i czasami można rozłożyć na co najmniej 2 liczby pierwsze.
\(\displaystyle{ (k+3)}\) - jest parzyste i zawsze można rozłożyć na co najmniej 2 liczby pierwsze, ponieważ każdą liczbę parzystą (dla \(\displaystyle{ k \ge 5}\)) można rozłożyć.
Sumując wychodzi, że jest min. 4 liczby pierwsze.

Teraz zauważyłem, że to ma być indukcyjnie? Tak nawiasem to się da tak zrobić?

[RSM]

kamil13151, ja już mamy postać iloczynową, to dalej bez zbędnych ceregieli:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (k+2,k+3)=1}\), ponadto co najmniej jedna z tych liczb jest złożona.