Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
linksys
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 lip 2011, o 17:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: linksys » 29 lip 2011, o 17:23

Witam, mam pewne pytanie dotyczące twierdzenia, które znalazłem czytając artykuł o sprzężeniu zespolonym (wersja w języku angielskim - complex conjugate) na Wikipedii. Nie znam dowodu tego faktu, a Wikipedii nie do końca wierzę.

Znalazłem tam twierdzenie, które mówi mniej więcej tyle, że jeśli funkcja f jest holomorficzna i tż. na liczbach rzeczywistych przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, \(\displaystyle{ \overline{z}}\) - oznacza sprzężenie liczby zespolonej z, to wtedy

\(\displaystyle{ \overline{f(z)}}\) = \(\displaystyle{ f(\overline{z})}\)

Czy ktoś mógłby mi podać dowód tego twierdzenia? Ewentualnie, gdzie mógłbym znaleźć ten dowód?

Z góry dziękuję za wszystkie wskazówki i pomoc.
Ostatnio zmieniony 29 lip 2011, o 20:55 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Liczby zespolone to tylko podtekst. To Analiza wyższa.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: szw1710 » 29 lip 2011, o 18:45

Najprędzej w książce Lei "Funkcje zespolone". Na razie nie mam na więcej czasu.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: Wasilewski » 29 lip 2011, o 21:31

Jeśli rozważana funkcja jest całkowita, to rozwija się w szereg (o środku, dla wygody, w zerze) na całej płaszczyźnie i, z uwagi na założenia, współczynniki są rzeczywiste; stąd łatwo wnioskujemy o prawdziwości tezy.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: szw1710 » 29 lip 2011, o 21:34

Tak też myślałem - dla wielomianów to trywialne, przejście graniczne i już.

linksys
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 lip 2011, o 17:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: linksys » 30 lip 2011, o 09:54

Zgadza się! Jeśli jest całkowita, to twierdzenie jest trywialne (rozwijamy w szereg i dalej leci), ale w takim razie na Wikipedii jest błąd, założenie tylko o holomorficzności funkcji nie wystarczy. Dziękuję za pomoc!

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: norwimaj » 30 lip 2011, o 21:45

Żeby samo sformułowanie miało sens, to dziedzina \(\displaystyle{ D}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) musi być taka, że \(\displaystyle{ z\in D \Rightarrow \overline{z} \in D}\). Jeśli dodatkowo założymy, że \(\displaystyle{ D}\) jest otwartym zbiorem spójnym, to teza twierdzenia powinna zajść.

Taki zbiór przecina się z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) co najmniej na jakimś przedziale. Dalej z zasady identyczności dla funkcji \(\displaystyle{ f(\overline{z})}\) i \(\displaystyle{ \overline{f(z)}}\) otrzymujemy tezę.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Sprzężenie argumentu funkcji zespolonej - twierdzenie

Post autor: Wasilewski » 31 lip 2011, o 09:51

Raczej z zasady identyczności dla funkcji \(\displaystyle{ \overline{f(\overline{z})}}\) oraz \(\displaystyle{ f(z)}\), bo te, które wypisałeś, są umiarkowanie holomorficzne.

ODPOWIEDZ