grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 16:51

Jak pokazać, że podane zbiory przekształceń płaszczyzny: zbiór izometrii i zbiór translacji (przesunięć) ze składaniem przekształceń jako działaniem są grupami, a zbiór symetrii osiowych (odbić) i zbiór symetrii środkowych nie są grupami?

miodzio1988

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 17:28

Z definicji prosto? Próbowałaś? Jaka jest definicja grupy?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 17:36

Próbowałam i wymyśliłam tylko dla translacji:
Jest łączne, el. neutralny to wektor zerowy, el odwrotny do danego to wektor do niego przeciwny.
Dobrze myślę?

miodzio1988

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 17:39

Dobrze. Co to jest zatem izometria? Jaki z tym masz problem?

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 17:44

Działanie składania dowolnych funkcji jest łączne, więc tego nie musisz nigdzie sprawdzać (jeżeli umiesz to pokazać w dowolnym przypadku).

Dobrze pokazałaś, że zbiór translacji ze składaniem tworzy grupę. I faktycznie jeżeli \(\displaystyle{ t_v}\) to przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ v}\), to \(\displaystyle{ t_{-v}}\) jest elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ t_v}\) (napisałem to zdanie, bo swoje uzasadnienie trochę niejasno napisałaś).

Pokazanie, że dowolna izometria płaszczyzny ma element odwrotny nie jest takie proste. Znasz twierdzenie, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić względem prostych (refleksji, symetrii liniowych/osiowych)? Przez izometrię trywialną rozumiem identyczność.

No i właśnie, zbiór symetrii osiowych nie ma elementu neutralnego składania (wskazówka dla Ciebie). To samo tyczy się symetrii środkowych.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 18:01

Niestety ta izometria niezbyt do mnie przemawia.

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 18:03

BlueSky pisze:Niestety ta izometria niezbyt do mnie przemawia.
Jaka izometria? To jest komentarz do którego mojego zdania?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 18:12

Chodzi mi o to pokazanie, że zbiór izometrii jest grupą, tzn. jak pokazać, że ma el. neutralny i odwrotny.

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 18:20

Czy identyczność jest izometrią? Czy zatem może być kandydatem na element neutralny?

Nie wiem, jak bez klasyfikacji izometrii płaszczyzny pokazać, że dowolna izometria płaszczyzny ma izometrię odwrotną. Do tej klasyfikacji potrzebne jest twierdzenie mówiące, że każda nietrywialna izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech odbić. Znasz to twierdzenie?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 18:24

Tak

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 19:49

To jest odpowiedź na które pytanie? Odpowiadaj pełnymi zdaniami, bo taka rozmowa z Tobą jest męcząca.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 20:32

To jest odpowiedź na ostatnie pytanie.

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 20:41

Ok. A co jest izometrią odwrotną do symetrii osiowej?

Co z pierwszym pytaniem -- czy identyczność jest izometrią?

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: BlueSky » 29 lip 2011, o 21:03

Myślę, że identyczność jest izometrią.
A z tą symetrią osiową to chodzi o to, że jest inwolucją, czyli jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym?

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

Post autor: Ein » 29 lip 2011, o 21:33

BlueSky pisze:Myślę, że identyczność jest izometrią.
Nie masz zgadywać, masz rozumieć. Znasz definicję izometrii?
A z tą symetrią osiową to chodzi o to, że jest inwolucją, czyli jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym?
Tak, o to chodzi. To jaka jest izometria odwrotna do złożenia dwóch lub trzech symetrii osiowych?

ODPOWIEDZ