Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
rezystor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 28 maja 2009, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: rezystor » 28 lip 2011, o 17:27

Witam
Mam pytanie odnośnie rozwiązywania równań z parametrem.
Chodzi mi o równania których macierze główne nie są kwadratowe np.
\(\displaystyle{ A|B=\left[\begin{array}{ccc}\alpha&1&\alpha\\1&\alpha&\alpha\\\alpha&\alpha&\alpha\end{array}\right]}\)
Gdzie \(\displaystyle{ A|B}\) jest macierzą dołączoną.

I sednem mojego pytania jest to jaki sposób rozwiązywania jest najbardziej optymalny. Czy np. metodą Gaussa?

miodzio1988

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: miodzio1988 » 28 lip 2011, o 17:30

Tak. Najlepiej Gaussem zawsze

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: » 29 lip 2011, o 11:56

W podanym przykładzie najlepiej zacząć nie od Gaussa, ale od policzenia wyznacznika tej macierzy. Jeśli jest niezerowy (a zazwyczaj jest), to układ nie ma rozwiązania (co łatwo wynika z tw. Kroneckera-Capellego), a jeśli jest zerowy (tutaj tylko dla dwóch liczb), to dopiero używamy metody Gaussa.

Q.

miodzio1988

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 11:59

Po Ci się bawić w wyznaczniki jak Gauss sprzeczność tak czy siak nam wygeneruje ? Dla mnie lepszą opcją jest Gauss niż Gauss+liczenie wyznacznika ( mimo iż to trudne i żmudne nie jest)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: » 29 lip 2011, o 12:08

Bo tak - w ogólności - jest szybciej i trudniej o pomyłkę (tzn. pominięcie jakiegoś przypadku).

Q.

miodzio1988

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: miodzio1988 » 29 lip 2011, o 12:17

Kwestia indywidualna już. Jak są większe macierze to i tak Gauss ułatwi nam policzenie wyznacznika ( jeśli już bardzo potrzebujemy policzyć ten wyznacznik), więc, tak czy siak, Gauss, w ogólności, jest najlepszym rozwiązaniem

Awatar użytkownika
rezystor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 28 maja 2009, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: rezystor » 29 lip 2011, o 21:04

Qń tylko w przypadku który podałem wcześniej \(\displaystyle{ A|B}\) jest macierzą dołączoną jak usuniemy ostatnia kolumnę to dostaniemy macierz \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) a z tego nie da rady policzyć wyznacznika.
Ale mniejsza większość o ten przykład mam następny i również podana macierz jest macierzą dołączoną i została przekształcona do takiej posaci.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&2&-1&4 \\-2&-5&7&-2 \\4&-1&\lambda&(\lambda+1) \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{9}{11} & \frac{16}{11} \\0 & 1 & -\frac{19}{11} & -\frac{2}{11} \\0 & 0 & ( \lambda -5) & (\lambda-5) \end{bmatrix}}\)
Dla \(\displaystyle{ \lambda = 5}\) dostajemy coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{ccc}7\\17\\11\end{array}\right]}\)
a dla :\(\displaystyle{ \lambda \neq 5}\) dostajemy coś takiego:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{ccc}16\\-2\\0\end{array}\right] + t \left[\begin{array}{ccc}-9\\19\\11\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ t=\frac{x_{3}}{11}}\)
a w odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \frac{1}{11} \left[\begin{array}{ccc}7\\17\\11\end{array}\right] + t \left[\begin{array}{ccc}-9\\19\\11\end{array}\right]}\) i \(\displaystyle{ t=0}\) gdy \(\displaystyle{ \lambda \neq 5}\)

I gdzie zrobiłem błąd ?? Za wszelka pomoc z góry dzięki.

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: » 29 lip 2011, o 21:09

rezystor pisze:Qń tylko w przypadku który podałem wcześniej \(\displaystyle{ A|B}\) jest macierzą dołączoną jak usuniemy ostatnia kolumnę to dostaniemy macierz \(\displaystyle{ 2 \times 3}\) a z tego nie da rady policzyć wyznacznika.
Owszem, tylko nie przypominam sobie, żebym napisał, że przed policzeniem wyznacznika należy usuwać ostatnią kolumnę.

Q.

Awatar użytkownika
rezystor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 28 maja 2009, o 23:56
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Sposoby rozwiązywania równanń liniowych z parametrem.

Post autor: rezystor » 29 lip 2011, o 21:29

To co nam da policzenie wyznacznika z macierzy dołączonej

ODPOWIEDZ