[Planimetria] Współliniowe punkty

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Swistak » 28 lip 2011, o 15:16

Dany jest trójkąt ABC taki, że \(\displaystyle{ AC=BC}\), a w nim takie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), które spełniają \(\displaystyle{ \sphericalangle PAC = \sphericalangle QBA}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle QAB =\sphericalangle PBC}\)
Udowodnij SYNTETYCZNIE (w szczególności nie używając trygonometrycznego Cevy i dobrze by było, gdyby Cevy też nie), że punkty C, Q oraz P są współliniowe.

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1536
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 436 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: timon92 » 28 lip 2011, o 16:22

Niech X, Y, Z będą punktami przecięcia AP z BQ, AQ z PB, AB z XY.

Z danych równości kątów prosto wynika, że punkty ABXY leżą na okręgu który jest styczny do prostych CA, CB. Punkt Z leży na prostej AB, czyli na biegunowej punktu C, zatem punkt C leży na biegunowej punktu Z, czyli na prostej PQ.

----------------
poprawione
Ostatnio zmieniony 28 lip 2011, o 21:16 przez timon92, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Swistak » 28 lip 2011, o 16:25

Świetne rozwiązanie . Jednakowoż istnieje moim zdaniem jeszcze bardziej magiczne (żeby nie było, nie jest moje, to wzorcówka ; p).
Zatem mamy już ten okrąg na \(\displaystyle{ ABXY}\) i stosujemy tw. Pascala dla "sześciokąta" \(\displaystyle{ AAXBBY}\) . Zarąbiste .

Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Damianito » 28 lip 2011, o 17:18

Inne:

Odbijmy punkt \(\displaystyle{ Q}\) względem symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\), otrzymując punkt \(\displaystyle{ R}\). \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) są izogonalnie sprzężone, skąd mamy równości kątów \(\displaystyle{ \sphericalangle PCA = \sphericalangle RCB = \sphericalangle QCA}\), czyli żądaną współliniowość.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Swistak » 28 lip 2011, o 19:26

Inne:
Skorzystajmy z tezy i zauważmy, że teza zachodzi.

Awatar użytkownika
Damianito
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 25 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zabrze
Pomógł: 7 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Damianito » 28 lip 2011, o 21:01

Sam jesteś teza -- 28 lipca 2011, 21:12 --
timon92 pisze:Niech X, Y, Z będą punktami przecięcia AP z BQ, AQ z PB, AB z PQ.

Z danych równości kątów prosto wynika, że punkty ABXY leżą na okręgu który jest styczny do prostych CA, CB. Punkt Z leży na prostej AB, czyli na biegunowej punktu C, zatem punkt C leży na biegunowej punktu Z, czyli na prostej PQ.
Wydaje mi się, że wszystko jest ok, jeśli przyjąć Z jako przecięcie AB z XY zamiast AB z PQ.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Swistak » 29 lip 2011, o 18:14

No dobra, jednak raczej nie można powiedzieć, że Damian skorzystał z tezy, bo ciężko z tego zadania wysnuć wniosek o izogonalnym sprzężeniu dla ogólności (bo tu mamy trójkąt równoramienny), jednak to rozwiązanie mi się nie podoba, bo izogonalne sprzężenie najłatwiej dowieść tryg. Cevą, który tutaj przechodzi dokładnie tak samo .

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Marcinek665 » 30 lip 2011, o 04:41

Czyli jak zwykle najbardziej podobają Ci się Twoje własne rozwiązania. Tylko nie zapomnij, że Pascala dowodzi się Menelaosem, a to prawie ten sam 'syf', co Ceva :P

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Swistak » 30 lip 2011, o 14:00

Ale to rozwiązanie nie jest moje o0. Ja w tym zadaniu robiąc je samemu zadowoliłem się tryg. Cevą i nie uważam tego za zbyt ładne.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[Planimetria] Współliniowe punkty

Post autor: Marcinek665 » 30 lip 2011, o 14:03

Oj tam. Zadanie zrobione, to zadanie zrobione. Ale fakt, im więcej ciekawszych rozwiązań się pozna, tym lepiej.

ODPOWIEDZ