podgrupa niezmiennicza

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

podgrupa niezmiennicza

Post autor: anetaaneta1 » 26 lip 2011, o 16:47

czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć co to jest podgrupa niezmiennicza bo nie rozumie tych warunków 1) aH=Ha 2) \(\displaystyle{ aHa^{-1}=H}\)

Z góry dzięki za pomoc
Ostatnio zmieniony 26 lip 2011, o 18:25 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

podgrupa niezmiennicza

Post autor: szw1710 » 26 lip 2011, o 18:22

Odwzorowanie \(\displaystyle{ h_a:G\to G}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest grupą, dane wzorem \(\displaystyle{ h_a(x)=axa^{-1}}\) nazywamy automorfizmem wewnętrznym grupy \(\displaystyle{ G}\). Warunki 1) i 2) są równoważne i oznaczają, że obrazem podgrupy \(\displaystyle{ H}\) przez automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez \(\displaystyle{ a}\) jest sama \(\displaystyle{ H}\), więc siłą rzeczy \(\displaystyle{ H}\) jest niezmiennicza ze względu na ten automorfizm (nie zmienia się po jego zastosowaniu). Jeśli warunek 1) albo 2) zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ a\in G}\), to podgrupę \(\displaystyle{ H}\) nazywamy podgrupą normalną lub dzielnikiem normalnym grupy \(\displaystyle{ G}\).

Zbiór \(\displaystyle{ aH}\) nazywamy warstwą lewostronną, a \(\displaystyle{ Ha}\) - warstwą prawostronną. Warunek 1) mówi, że warstwy lewostronne są takie same jak prawostronne.

Jeśli grupa \(\displaystyle{ G}\) jest przemienna, to oba warunki są spełnione w ciemno - każda podgrupa jest normalna. Rozróżnienie warstw lewo i prawostronnych ma istotny sens w grupach nieprzemiennych. Weź sobie jakąś niewielką grupę nieprzemienną i jej podgrupę oraz wyznacz warstwy względem niej. Nie może to być grupa zbyt mała. W grupach nieprzemiennych istnieją też podgrupy normalne i jest to bardzo ważna rzecz, że istnieją. Na tym opiera się kluczowe w teorii Galois pojęcie rozwiązalności grupy.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

podgrupa niezmiennicza

Post autor: anetaaneta1 » 27 lip 2011, o 15:38

a jak to się liczy w zadaniach np jak sprawdzić czy dana podgrupa jest niezmiennicza ???
np. czy Q,+ jest podgrupą niezmienniczą ???

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

podgrupa niezmiennicza

Post autor: szw1710 » 27 lip 2011, o 15:41

anetaaneta1 pisze:a jak to się liczy w zadaniach np jak sprawdzić czy dana podgrupa jest niezmiennicza ???
np. czy Q,+ jest podgrupą niezmienniczą ???
Pisałem, że w grupie przemiennej wszystkie podgrupy są niezmiennicze (pisałem normalne). Więc jeśli to zbiór liczb wymiernych z dodawaniem jako podgrupa grupy liczb rzeczywistych, to jest to podgrupa niezmiennicza w ciemno. Sprawdź z definicji: \(\displaystyle{ aH=\{ah:h\in H\}.}\) Podobnie określamy \(\displaystyle{ Ha}\) oraz \(\displaystyle{ aHa^{-1}.}\) Sprawdź dlaczego w grupie przemiennej zawsze \(\displaystyle{ aH=Ha.}\)

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

podgrupa niezmiennicza

Post autor: anetaaneta1 » 27 lip 2011, o 15:57

ale ja nie wiem jak te warunki w ogóle rozpisać i jak się je sprawdza. Jak na przykład wykazać ze te warunki zachodzą dla powyższego przykładu a nie wykazać z tego ze jest grupą przemienną

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18752
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3725 razy

podgrupa niezmiennicza

Post autor: szw1710 » 27 lip 2011, o 16:39

Tutaj najprostszą metodą jest przemienność. A ogólnie niezmienniczość jest konsekwencją natury działania grupowego i postaci podgrupy. Więc nie ma metody ogólnej. Albo podgrupa jest niezmiennicza, albo nie jest, ale za każdym razem sprawdza się to inaczej, w oparciu o działanie. Pokażę Ci coś. Sprawdzę, że z 1) wynika 2).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ aH=Ha}\). Pokażę, że \(\displaystyle{ H=aHa^{-1}.}\)

Inkluzja \(\displaystyle{ H\subset aHa^{-1}:}\) niech \(\displaystyle{ h\in H}\), więc \(\displaystyle{ ha\in Ha=aH}\), skąd \(\displaystyle{ ha=ak}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in H.}\) Mnożąc to z prawej przez \(\displaystyle{ a^{-1}}\) mamy \(\displaystyle{ h=aka^{-1}\in aHa^{-1}.}\)

Inkluzję przeciwną wykazujemy rozumując podobnie: jeśli \(\displaystyle{ x\in aHa^{-1},}\) to \(\displaystyle{ x=aha^{-1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ h\in H}\), więc \(\displaystyle{ xa=ah\in aH=Ha}\), czyli \(\displaystyle{ xa=ka}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in H,}\) ale mnożąc przez \(\displaystyle{ a^{-1}}\) z prawej dochodzimy do \(\displaystyle{ x=k\in H.}\)

Moim celem było pokazanie pewnego sposobu rachunków na elementach grup.

ODPOWIEDZ