Rozwiąz układ równań

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6094
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

Rozwiąz układ równań

Post autor: mol_ksiazkowy » 24 lip 2011, o 16:40

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=8\\ab+c+d=23\\ad+bc=28\\cd=12\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d \in R}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Rozwiąz układ równań

Post autor: Rogal » 24 lip 2011, o 19:25

Układ ten można, że tak powiem rozwiązać na chama metodą podstawiania, jednak jest to nieprzyjemne.
W trakcie ustalania tego, przypomniało mi się, że takie układy już widziałem i znam je dobrze - swego czasu rozwiązałem taki układ z dowolną prawą stroną, gdyż jest to nic innego, a warunek na faktoryzację wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów.
Mamy:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^{2} + ax + c)(x^{2} + bx + d) = x^{4} + (a + b)x^{3} + (ab + c + d)x^{2} + (ad + bc)x + cd}\)
A współczynniki z nawiasów znamy z naszego układu, więc:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + 8x^{3} + 23x^{2} + 28x + 12}\)
Nie jest teraz trudno "wystrzelać" pierwiastki tegoż jak kaczki:
\(\displaystyle{ W(x) = (x+1)(x+2)(x+2)(x+3)}\)

Teraz wybierając dwa spośród tych dwumianów otrzymamy różne wyniki na a, b, c, d. "Normalnie" (czyli bez pierwiastka wielokrotnego) otrzymalibyśmy trzy rozwiązania, jednak tutaj właśnie jedno się powtórzy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 1+2=3 \\ b = 2+3=5 \\ c = 1 \cdot 2=2 \\ d = 2 \cdot 3=6 \end{cases} \vee \ \begin{cases} a = 1+3=4 \\ b = 2+2=4 \\ c = 1 \cdot 3=3 \\ d = 2 \cdot 2=4 \end{cases}}\)

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Rozwiąz układ równań

Post autor: Marcinek665 » 25 lip 2011, o 08:31

Sprytne. Spróbuję to przepałować, ale nie wiem, czy coś fajnego wyjdzie.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Rozwiąz układ równań

Post autor: Rogal » 25 lip 2011, o 11:38

Z tego, co pamiętam, to po wstawieniu b z pierwszego, potraktowaniu a jako stałą w następnych dwóch otrzymujemy układ dwóch równań liniowych na c i d - wyznaczamy je (choćby wyznacznikami), a następnie tak uzależnione od a c i d wstawiamy do ostatniego równania, by otrzymać równanie trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ a^{2}}\). Tak to było w ogólności - w tym przykładzie być może da się coś "przysprycić", bo ten wielomian ma pierwiastek podwójny.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6743
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1221 razy

Rozwiąz układ równań

Post autor: mariuszm » 20 maja 2012, o 21:00

Rogal, jak ci się udało rozwiązać układ (ten bardziej ogólny)

Mnie nie wychodzi tym sposobem co napisałeś
Gdyby zastosować podstawienie to by wyszło

Mnie wyszło coś takiego

\(\displaystyle{ \left( x^2+ax+c\right)\left( x^2+bx+d\right)=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\ x^4+bx^3+dx^2+ax^3+abx^2+adx+cx^2+bcx+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\ x^4+\left(a+b\right)x^3+\left( c+d+ab\right)x^2+\left( ad+bc\right)x+cd=x^4+a_{3}x^{3}+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\\ \begin{cases} a+b=a_{3} \\ c+d+ab=a_{2}\\ad+bc=a_{1}\\cd=a_{0} \end{cases} \\ \begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) +\left( a+b\right)^2-\left( a-b\right)^2 =4a_{2}\\\left( a+b\right)\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\ \begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\a_{3}\left( c+d\right)-\left( a-b\right)\left( c-d\right) =2a_{1}\\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\ \begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)=a_{3}\left( c+d\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\ \begin{cases} \left( a+b\right) =a_{3} \\ 4\left( c+d\right) =4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\\\left( a-b\right)\left( c-d\right)= \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1} \\\left( c+d\right)^2-\left( c-d\right)^2 =4a_{0} \end{cases} \\ \frac{1}{16}\left( 4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2 \right)^2-\left( \frac{\left( \frac{a_{3}}{4} \left(4a_{2}-a_{3}^2+\left( a-b\right)^2\right)-2a_{1}\right)^2 }{\left( a-b\right)^2 } \right)=4a_{0}}\)

Przeliczylem jeszcze raz i cos tam wyszlo tyle że otrzymujesz równanie szóstego stopnia które można
sprowadzić do równania trzeciego stopnia na jakąś tam niewiadomą do kwadratu
podstawieniem \(\displaystyle{ a= \frac{a_{3}}{2}+u}\) a te podstawienienie nie jest aż tak łatwo zauważyć

ODPOWIEDZ