Zadanie jest takie: Znajdź dziesięć kolejnych nieparzystych liczb naturalnych, których suma jest podzielna przez 99.
Zrobiłam coś takiego:
\(\displaystyle{ 2a+1}\) - najmniejsza szukana liczba, \(\displaystyle{ a \in IN}\), każda następna jest powiększona o 2. Suma wychodzi taka:
\(\displaystyle{ 20a+100}\)
Wprowadziłam kolejną niewiadomą b, gdzie \(\displaystyle{ \frac{20a+100}{99}=b, b \in IN}\). No i się zapętliłam, bo mam 2 niewiadome, jedno równanie. Jak inaczej można to zrobić?
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
W zasadzie to nie przeszkadza. Wystarczy, że znajdziesz takie \(\displaystyle{ a}\), że liczba \(\displaystyle{ 20a + 100}\) będzie wielokrotnością \(\displaystyle{ 99}\). Można szukać na palcach albo użyć kongruencji
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
Zauważ, że \(\displaystyle{ 20a+100=(20a+1)+99}\) i wystarczy dobrać \(\displaystyle{ a}\) tak, by liczba \(\displaystyle{ 20a+1}\) była podzielna przez 99, tj. przez 9 i 11 jednocześnie. Skorzystaj z odpowiednich cech podzielności.
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
Ok, dzięki, czyli generalnie bez dobierania liczby się nie obejdzie? (Jeszcze nigdy nie miałam do czynienia z kongruencją, póki co nie będę się w to bawić )
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
CiekaweMożna szukać na palcach
Suma dziesięciu liczb nieparzystych jest parzysta, a więc musi się też dzielić przez 198, więc \(\displaystyle{ 20a+1=198x}\), dobrze myślę?
Znalazłem jedną z liczb (1881), dodajemy do siebie ciągle 198 i szukamy liczby zakończonej na 1 i liczba dziesiątek musi być parzysta.
Pokaże ktoś jak znaleźć takie liczby przy pomocy kongruencji, bo tak się zastanawiam i wpaść nie mogę
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dziesięć kolejnych liczb nieparzystych
\(\displaystyle{ 20a+100 \equiv 0 \pmod{99}}\)
\(\displaystyle{ 20a \equiv 98 \pmod{99} /\cdot 5}\)
\(\displaystyle{ a \equiv 94 \pmod{99}}\)
\(\displaystyle{ a = 99n+94}\)
I teraz za n wstawiając kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ \lbrace 0;1;...\rbrace}\) dostajemy a, które generuje nam liczby spełniające tezę, przykładowo wybierając \(\displaystyle{ n=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a=94 \Leftrightarrow 2a+1 = 189}\), skąd wynika, że najmniejsza suma spełniająca tezę to: \(\displaystyle{ 189+191+193+...+207}\)
\(\displaystyle{ 20a \equiv 98 \pmod{99} /\cdot 5}\)
\(\displaystyle{ a \equiv 94 \pmod{99}}\)
\(\displaystyle{ a = 99n+94}\)
I teraz za n wstawiając kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ \lbrace 0;1;...\rbrace}\) dostajemy a, które generuje nam liczby spełniające tezę, przykładowo wybierając \(\displaystyle{ n=0}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a=94 \Leftrightarrow 2a+1 = 189}\), skąd wynika, że najmniejsza suma spełniająca tezę to: \(\displaystyle{ 189+191+193+...+207}\)