Definicja całki oznaczonej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mizera03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 176
Rejestracja: 2 paź 2007, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bialystok
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 18 razy

Definicja całki oznaczonej

Post autor: mizera03 » 25 lip 2011, o 11:46

Oj szeregi może nadrobić później:

\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Definicja całki oznaczonej

Post autor: szw1710 » 25 lip 2011, o 21:56

Przyjmujemy \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\). Jasnym jest, że \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\,\text{d}x=\frac{1}{4}.}\) Twoja suma jest sumą całkową dla naszej funkcji przy przedziale całkowania \(\displaystyle{ [0,1]}\) i podziale na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Punkty pośrednie wybieramy jako końcowe punkty podprzedziałów.

Zatem dokonujemy następującego podziału: \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{n}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\,,\quad\dots,\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}\right]\,.}\) Punkty pośrednie są, jak powiedziałem, punktami końcowymi, więc dla \(\displaystyle{ k=0,\dots,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_k=\frac{k}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_k=\frac{k}{n}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n.}\) Suma całkowa:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^3\frac{1}{n}=\frac{1^3+2^3+\dots+n^3}{n^4}}\)

i ta suma z definicji całki zmierza przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) do \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\text{d}x=\frac{1}{4}.}\)

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. Jest jak najbardziej poprawne. Wyrazy pewnego ciągu stanowią sumy całkowe dla konkretnej całki.

miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia. A ona prosi o wytłumaczenie w zasadzie od podstaw. To trudne rzeczy na początku matematycznej drogi. To, że w sekundę wiem, jak zadanie rozwiązać, zawdzięczam 25 latom spędzonym z matematyką.

miodzio1988

Definicja całki oznaczonej

Post autor: miodzio1988 » 25 lip 2011, o 22:43

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. J
Bo koleżanka zmieniła treść tego zadania. Edytowała post.
miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia
\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)
Napisanie tego wymaga dużego doświadczenia?? Bo tylko tego wymagałem....

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18774
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3734 razy

Definicja całki oznaczonej

Post autor: szw1710 » 25 lip 2011, o 23:16

Napisanie tego wymaga dużego doświadczenia?? Bo tylko tego wymagałem....
Tak, wymaga. Podstawową trudnością jest wymyślenie, jaką funkcję tu dobrać. Nie dla nas, ale dla dziewczyny, której próbujemy pomóc, jak również dla każdego adepta analizy. Wierz mi, że wiem, co mówię. Spróbuj przez moment popatrzeć z drugiej strony biurka.

miodzio1988

Definicja całki oznaczonej

Post autor: miodzio1988 » 25 lip 2011, o 23:19

. Podstawową trudnością jest wymyślenie, jaką funkcję tu dobrać.
Z całym szacunkiem, ale tego od dziewczyny nie wymagałem...

Poprosiłem tylko o to co zrobił mizera03, czyli zapisanie tego w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1 ^{3} + 2 ^{3 } +3 ^{3} + ... + n ^{3} }{n ^{4} } = \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}}\)
i w tym momencie miała się pojawić dopiero funkcja.

kamija
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 2 maja 2011, o 17:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 6 razy

Definicja całki oznaczonej

Post autor: kamija » 6 sie 2011, o 13:34

\(\displaystyle{ \frac{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \,\cdots\, + n^{3}}{ n^{4} } = \frac{1}{n ^{3} } \cdot \frac{1}{n} +\,\cdots\, + \frac{ n ^{3}}{ n ^{3}} \cdot \frac{1}{n} = \int_{0}^{1} x ^{3} dx = \frac{x ^{4} }{4} = \frac{1}{4}}\)


można tak?
Ostatnio zmieniony 6 sie 2011, o 17:41 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: symbol mnożenia to \cdot

miodzio1988

Definicja całki oznaczonej

Post autor: miodzio1988 » 6 sie 2011, o 13:36

Nie można. Druga równość i trzecia i czwarta nie są prawdziwe.

kamija
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 2 maja 2011, o 17:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: szczecin
Podziękował: 6 razy

Definicja całki oznaczonej

Post autor: kamija » 6 sie 2011, o 13:40

to chyba odpuszczę sobie to zadanie..

miodzio1988

Definicja całki oznaczonej

Post autor: miodzio1988 » 6 sie 2011, o 13:41

szw1710 pisze:Przyjmujemy \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\). Jasnym jest, że \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\,\text{d}x=\frac{1}{4}.}\) Twoja suma jest sumą całkową dla naszej funkcji przy przedziale całkowania \(\displaystyle{ [0,1]}\) i podziale na \(\displaystyle{ n}\) równych części. Punkty pośrednie wybieramy jako końcowe punkty podprzedziałów.

Zatem dokonujemy następującego podziału: \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{n}\right]}\), \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{n},\frac{2}{n}\right]\,,\quad\dots,\left[\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}\right]\,.}\) Punkty pośrednie są, jak powiedziałem, punktami końcowymi, więc dla \(\displaystyle{ k=0,\dots,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_k=\frac{k}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ c_k=\frac{k}{n}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n.}\) Suma całkowa:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^3\frac{1}{n}=\frac{1^3+2^3+\dots+n^3}{n^4}}\)

i ta suma z definicji całki zmierza przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) do \(\displaystyle{ \int_0^1 x^3\text{d}x=\frac{1}{4}.}\)

Lorek, Dlaczego uważasz, że sformułowanie jest bez sensu. Jest jak najbardziej poprawne. Wyrazy pewnego ciągu stanowią sumy całkowe dla konkretnej całki.

miodzio1988, w swoich wskazówkach wymagasz od dziewczyny dużego doświadczenia. A ona prosi o wytłumaczenie w zasadzie od podstaw. To trudne rzeczy na początku matematycznej drogi. To, że w sekundę wiem, jak zadanie rozwiązać, zawdzięczam 25 latom spędzonym z matematyką.
Przecież tutaj masz gotowca....

ODPOWIEDZ