Podaj wzór rekurencyjny dla tego ciągu i 5 pierwszych wyrazó

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
le3o
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 10 lut 2009, o 22:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Podaj wzór rekurencyjny dla tego ciągu i 5 pierwszych wyrazó

Post autor: le3o » 22 lip 2011, o 20:38

Szereg generujący dla ciągu Ciąg \(\displaystyle{ \left( a _{n} \right) ^{ \infty } _{n=0}}\) dany jest wzorem:

\(\displaystyle{ A\left( t\right) = \frac{ 2 + 3t + 5t ^{2} }{ 1 - 3t + t ^{3} }}\)

Podaj wzór rekurencyjny dla tego ciągu i \(\displaystyle{ 5}\) jego pierwszych wyrazów ?

------------
Jak zrobić dłuzsza kreske ułakowąw latexie ?
Ostatnio zmieniony 22 lip 2011, o 21:08 przez szw1710, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Ułamki, tak długie, jak i krótkie, zapisuje się w LaTeXu za pomocą '\frac{}{}'.

octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Podaj wzór rekurencyjny dla tego ciągu i 5 pierwszych wyrazó

Post autor: octahedron » 23 lip 2011, o 01:17

\(\displaystyle{ A\left( t\right) = \frac{ 2 + 3t + 5t ^{2} }{ 1 - 3t + t ^{3} }\\ (1 - 3t + t ^{3})A(t) = 2 + 3t + 5t ^{2}\\ A(t)-3tA(t)+t^3A(t)=5t^2+3t+2\\ A(t)=3tA(t)-t^3A(t)+5t^2+3t+2\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n=3t\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n-t^3\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n+5t^2+3t+2\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n=\sum_{n=0}^{\infty}3a_nt^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^{n+3}+5t^2+3t+2\\ \sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n=\sum_{n=1}^{\infty}3a_{n-1}t^{n}-\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-3}t^{n}+5t^2+3t+2\\ \sum_{n=3}^{\infty}a_nt^n+a_2t^2+a_1t+a_0=\sum_{n=3}^{\infty}3a_{n-1}t^{n}+3a_1t^2+3a_0t-\sum_{n=3}^{\infty}a_{n-3}t^{n}+5t^2+3t+2\\ \sum_{n=3}^{\infty}a_nt^n+a_2t^2+a_1t+a_0=\sum_{n=3}^{\infty}\left( 3a_{n-1}-a_{n-3}\right) t^{n}+\left( 5+3a_1\right) t^2+\left( 3a_0+3\right) t+2\\ a_0=2\\ a_1=3a_0+3=9\\ a_2=5+3a_1=32\\ n\ge 3 \Rightarrow a_n=3a_{n-1}-a_{n-3}\\ a_3=94\\ a_4=273}\)

Lukassz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 147
Rejestracja: 10 lut 2010, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowe
Podziękował: 17 razy

Podaj wzór rekurencyjny dla tego ciągu i 5 pierwszych wyrazó

Post autor: Lukassz » 15 cze 2014, o 12:45

Jedno pytanie, dlaczego potem przy sumie mamy \(\displaystyle{ n = 3}\)?

ODPOWIEDZ