modul liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: BlueSky » 22 lip 2011, o 20:18

Liczba zespolona \(\displaystyle{ z}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\).
1. Czy wynika stąd, że ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) dąży do \(\displaystyle{ 1}\)?
2. Dlaczego nie wynika stąd, że istnieje liczba naturalna dodatnia \(\displaystyle{ n}\), taka że \(\displaystyle{ z^n=1}\)?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: szw1710 » 22 lip 2011, o 21:11

2. Bo wszystkich pierwiastków z 1 jakiegokolwiek stopnia jest przeliczalnie wiele, a okrąg jest zbiorem nieprzeliczalnym.

1. Nie. Np. \(\displaystyle{ z=-1.}\)

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: BlueSky » 22 lip 2011, o 21:25

A dlaczego wynika stąd, że ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) jest ograniczony?
I czy jest jakieś prostsze wyjaśnienie tego 2? Może jakiś kontrprzykład?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: szw1710 » 22 lip 2011, o 21:39

Według mnie wyjaśnienie 2. jest najprostsze z możliwych.

Ciąg \(\displaystyle{ (z^n)}\) jest ograniczony, bo \(\displaystyle{ |z^n|=|z|^n=1.}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: Lorek » 22 lip 2011, o 23:03

A kontrprzykład w 2. też łatwo znaleźć i to niejeden. Skoro \(\displaystyle{ |z|=1}\) to tę liczbę można zapisać w takiej postaci \(\displaystyle{ z=\cos t+i\sin t}\). Wystarczy się zastanowić dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) liczba \(\displaystyle{ (\cos t+i\sin t)^n}\) nigdy nie będzie jedynką.

Awatar użytkownika
pyzol
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: pyzol » 22 lip 2011, o 23:07

Czyli interpretacja geometryczna, bo mnożąc tę liczbę przez siebie przesuwamy się po łuku o pewną długość. Wystarczy więc, że będziemy kroczyć np. co 1, to na \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) idealnie nie stąpniemy.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18758
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3726 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: szw1710 » 22 lip 2011, o 23:10

Lorek,

Jasne. I nie ma tu odwołania do teorii mnogości. Ale i w moim wyjaśnieniu jest kawałek ładnej algebry. Nie chciałem o tym pisać, ale mamy tam przecież (zespolone) liczby algebraiczne. Też jest ich przeliczalnie wiele. Pierwiastki z jedynki są liczbami algebraicznymi. Swoją drogą, pewnie nietrudno podać liczbę przestępną \(\displaystyle{ z}\) taką, że \(\displaystyle{ |z|=1.}\) Uwaga: wielomianem minimalnym liczby algebraicznej leżącej na okręgu jednostkowym niekoniecznie musi być \(\displaystyle{ z^n-1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n.}\)

Sam sobie odpowiem Liczby algebraiczne stanowią ciało. Więc biorąc dowolną liczbę przestępną \(\displaystyle{ z}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{z}{|z|}}\) ma moduł \(\displaystyle{ 1}\) i jest przestepna, gdyż inaczej po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ |z|}\) mielibyśmy liczbę algebraiczną wbrew założeniu.

Błąd w rozumowaniu: np. dla \(\displaystyle{ z=e}\) nie da się tego zatosować. \(\displaystyle{ |z|}\) musiałby być liczbą algebraiczną. Jednak zostawiam to, bo może się przyda w rozwiązaniu rzuconego przeze mnie problemu.

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

modul liczby zespolonej

Post autor: Lorek » 23 lip 2011, o 11:21

Można skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ e^a}\) dla \(\displaystyle{ a}\) algebraicznego jest przestępne, choć też się ograniczamy tylko do pewnej grupy liczb.

ODPOWIEDZ