0.999...=1

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
trolled6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 22 lip 2011, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ukryte

0.999...=1

Post autor: trolled6 » 22 lip 2011, o 15:19

Witam. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego tak się dzieje?

\(\displaystyle{ x=0.999...\\ 10x=9.999...\\ 10x-x=9.999... - 0.999...\\ 9x=9\\ x=1}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2011, o 17:28 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

sandrusss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 lip 2011, o 14:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

0.999...=1

Post autor: sandrusss » 22 lip 2011, o 15:20

bo 9x dzielisz na 9 i otzrymujesz 1

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

0.999...=1

Post autor: Vax » 22 lip 2011, o 15:21

Dzieje się tak z tego samego powodu, co \(\displaystyle{ 2=2}\), po prostu równość \(\displaystyle{ 1 = 0,(9)}\) jest prawdziwa.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

0.999...=1

Post autor: Majeskas » 22 lip 2011, o 15:23

Ten temat był już nieraz poruszany na forum. Ścisłe uzasadnienie już sobie podałeś. Inne ścisłe uzasadnienie może być takie:

\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_1=0,9}\), \(\displaystyle{ q=0,1}\)

\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)= \frac{a_1}{1-q}= \frac{0,9}{1-0,1}=1}\)

-- 22 lipca 2011, 15:26 --

Jeśli chodzi o to, że kłóci się to z twoją intuicją, uzasadnienie intuicyjne może być takie:

W zapisie każdej liczby wymiernej typu \(\displaystyle{ 0,9999999999}\), mamy skończoną ilość dziewiątek, więc liczba ta jest skończenie bliska 1. Natomiast w zapisie liczbie \(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) mamy nieskończoną ilość dziewiątek, co powoduje, że liczba ta jest nieskończenie bliska 1, czyli po prostu "staje się" jedynką.

-- 22 lipca 2011, 15:28 --

Zastanów się nad różnicą \(\displaystyle{ 1-0,\left( 9\right)}\). W przypadku liczb ze skończoną ilością dziewiątek w zapisie, jesteśmy w stanie bardzo dokładnie określić taką różnicę. A ile miałaby wynosić w tym przypadku?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

0.999...=1

Post autor: Majeskas » 22 lip 2011, o 15:48

Majeskas pisze:
\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)}\) jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie \(\displaystyle{ a_1=0,9}\), \(\displaystyle{ q=0,1}\)

\(\displaystyle{ 0,\left( 9\right)= \frac{a_1}{1-q}= \frac{0,9}{1-0,1}=1}\)
To jest dokładnie to samo.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26903
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4498 razy

0.999...=1

Post autor: Jan Kraszewski » 22 lip 2011, o 17:13

Jak ktoś czuje niedosyt, to może zerknąć tutaj: 20240.htm

JK

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

0.999...=1

Post autor: Funktor » 22 lip 2011, o 17:20

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}=0,(3) \Rightarrow 1=0,(9)}\)

czekoladowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 41 razy

0.999...=1

Post autor: czekoladowy » 22 lip 2011, o 18:27

Czy moje rozumowanie jest dobre ? :
Zakładam , że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,(9)}\)są różne.
Aczkolwiek\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x , y\in R ; x \neq y} \bigvee\limits_c x>c>y \vee y>c>x}\)
Sprzeczkość , w tym przypadku nie znajdziemy takiego "c"

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

0.999...=1

Post autor: Majeskas » 22 lip 2011, o 18:35

Moim zdaniem ok. A po kwantyfikatorze małym można zapisać tak:

\(\displaystyle{ \min \left\{ x,y\right\}<c<\max \left\{ x,y\right\}}\)

czekoladowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 41 razy

0.999...=1

Post autor: czekoladowy » 22 lip 2011, o 18:40

Faktycznie krótszy zapis i chyba o to chodzi... aczkolwiek przed tym trzeba napisać , że \(\displaystyle{ x \neq y}\)

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

0.999...=1

Post autor: Majeskas » 22 lip 2011, o 18:49

Owszem, ale przecież napisałeś to wcześniej. Ja mówię tylko o tym, co można napisać po kwantyfikatorze małym.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

0.999...=1

Post autor: Marcinek665 » 22 lip 2011, o 18:58

czekoladowy pisze:Czy moje rozumowanie jest dobre ? :
Zakładam , że liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,(9)}\)są różne.
Aczkolwiek\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x , y\in R ; x \neq y} \bigvee\limits_c x>c>y \vee y>c>x}\)
Sprzeczkość , w tym przypadku nie znajdziemy takiego "c"
Przecież ten dowód jest błędny. Dla każdych różnych liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ x>y}\)) znajdziemy takie \(\displaystyle{ c}\), że \(\displaystyle{ x>c>y}\). Taką liczbą jest \(\displaystyle{ c=\frac{x+y}{2}}\). I wobec tego niczego nie dowiodłeś.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

0.999...=1

Post autor: Majeskas » 22 lip 2011, o 19:40

Jesteś w stanie wskazać \(\displaystyle{ c}\) dobre dla tych liczb?

Awatar użytkownika
Althorion
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

0.999...=1

Post autor: Althorion » 22 lip 2011, o 19:51

To, że nie potrafisz czegoś wskazać, nie znaczy, że to nie istnieje. Co więcej, brak możliwości wskazania czegoś też nie implikuje nieistnienia - na przykład dla wielu wielomianów stopnia piątego nie da się wskazać pierwiastków. Pomimo tego, jednak je one mają.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

0.999...=1

Post autor: Vax » 22 lip 2011, o 19:52

Majeskas przypatrz się dobrze rozwiązaniu czekoladowy, zakłada on, że \(\displaystyle{ 0,(9) \neq 1}\) wobec czego istnieje takie c, że \(\displaystyle{ 0,(9) < c < 1}\), o czym wcześniej napisał Marcinek665 (udowodnić?) i z tego żadna sprzeczność nie wynika. Oczywiście nie da się wskazać danego ,,c" spełniającego dane nierówności, jednak to wynika z tego, że \(\displaystyle{ 0,(9)=1}\) co można udowodnić w inny sposób.

ODPOWIEDZ