Argument liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
bazilazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 13 cze 2010, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Argument liczby zespolonej

Post autor: bazilazi » 22 lip 2011, o 05:53

\(\displaystyle{ \arg(5+5i)= ? \\ a = 5 \\ b = 5 \\ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25 \cdot 2}=5\sqrt{2} \\ \sin \varphi= \frac{b}{|z|}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos\varphi= \frac{a}{|z|}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Podany wynik w odpowiedziach to \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\). Staram się samemu dojść do takiego wyniku od ponad godziny jednak bezskutecznie, proszę o pomoc.
Jakie jeszcze obliczenia powinienem wykonać?
Ostatnio zmieniony 22 lip 2011, o 07:24 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Argument liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 22 lip 2011, o 07:26

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases} \Rightarrow \text{Arg } z = \frac{\pi}{4}}\)

bazilazi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 13 cze 2010, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Argument liczby zespolonej

Post autor: bazilazi » 22 lip 2011, o 07:30

Wytłumaczyłbyś mi jeszcze skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dlaczego wychodzi z tego \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{4}}\)?

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) Już wiem skąd ale w dalszym ciągu nie potrafię doprowadzić do wyniku \(\displaystyle{ z = \frac{\pi}{4}}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2011, o 07:47 przez bazilazi, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Argument liczby zespolonej

Post autor: ares41 » 22 lip 2011, o 07:46

Po pierwsze to nie \(\displaystyle{ z}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko jest to argument główny tej liczby zespolonej.
bazilazi pisze:Wytłumaczyłbyś mi jeszcze skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{1 \cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Jeżeli sinus i cosinus pewnego kąta \(\displaystyle{ \varphi}\) są sobie równe i wynoszą \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) to z trygonometrii wiemy, że jedynymi takimi kątami są \(\displaystyle{ \varphi= \frac{\pi}{4} + 2k\pi , \ k \in \mathbb Z}\), więc argumentem głównym naszej liczby zespolonej jest \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{4}}\)

ODPOWIEDZ