szereg funkcjny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mattix19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 sty 2010, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

szereg funkcjny

Post autor: mattix19 » 20 lip 2011, o 21:08

Witam
kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac. Probowalem z warunku koniecznego zbienosci ale nic madrego mi nie wyszlo
Zadanie:
Dla jakich x nalezacych do R zbiezny jesr szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+3\cos2nx}{ \sqrt{n} + \sqrt{n ^{3} } }}\)
Ostatnio zmieniony 21 lip 2011, o 19:20 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a

Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

szereg funkcjny

Post autor: Arst » 20 lip 2011, o 21:11

Kryterium Weierstrassa

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

szereg funkcjny

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 21:22

Właśnie. Zauważ, że \(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad \cos2nx \le 1}\)

mattix19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 sty 2010, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

szereg funkcjny

Post autor: mattix19 » 20 lip 2011, o 21:45

dobra z kryterium porownawczego wyszlo mi ze jest zbiezny a jak teraz zapisac dla jakich x jest zbiezny?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

szereg funkcjny

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 21:53

Skoro wyszło Ci, że jest zbieżny, to przecież musiałeś wiedzieć dla jakich argumentów Ci tak wyszło. Jeśli to szacowałeś, to szereg będzie zbieżny jednostajnie dla tych argumentów, dla których szacowałeś.

mattix19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 9 sty 2010, o 20:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 1 raz

szereg funkcjny

Post autor: mattix19 » 20 lip 2011, o 22:18

no poprostu podstawilem \(\displaystyle{ 1}\) za \(\displaystyle{ cos2nx}\) i potem zwiekszylem odpowiednio i wyszedl zbiezny czyli dla kazdego x nalezacego do \(\displaystyle{ R}\) jest zbiezny?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

szereg funkcjny

Post autor: Majeskas » 20 lip 2011, o 23:08

Owszem, choć to, co mówisz jest trochę nieścisłe. Nie można sobie czegoś podstawić. Kiedy orzekamy zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na jakimś zbiorze na podstawie kryterium Weirestrassa, posługujemy się szacowaniem, które ma być dobre dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z tego zbioru.

W tym wypadku:

\(\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N_+} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad \left| \frac{2+3\cos2nx}{ \sqrt{n}\left( n+1\right) } \right| < \frac{5}{n \sqrt{n} }}\)

Zbieżność szeregu funkcyjnego na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) wynika z oszacowania przez szereg zbieżny, które na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest dobre.

ODPOWIEDZ