Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 12:16

\(\displaystyle{ f(x)=\ln\cos x}\)

Otóż wiemy, że wartość logarytmu musi być większa od 0, zatem automatycznie z dziedziny wyłączamy punkty, w który \(\displaystyle{ \cos x=0}\), zatem:

\(\displaystyle{ \ln\cos x>0 \Rightarrow \cos x>0}\) czy \(\displaystyle{ |\cos x|>0}\)??
Ostatnio zmieniony 20 lip 2011, o 12:20 przez szw1710, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Stosuj \ln oraz \cos . Wejdź do edycji i sprawdź poprawki.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 12:19

józef92 pisze:\(\displaystyle{ f(x)=lncosx}\)

Otóż wiemy, że wartość logarytmu musi być większa od 0, zatem automatycznie z dziedziny wyłączamy punkty, w który cosx=0, zatem:

\(\displaystyle{ lncosx>0 \Rightarrow cosx>0 \ czy \ |cosx|>0}\)??
Argument logarytmu ma być dodatni.

Zatem \(\displaystyle{ cosx>0}\)

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 12:23

No to dziedzinę już mamy, teraz granice na krańcach przedziału:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to (\frac{\pi}{2}+2n\pi)^-}lncosx}\)

W tym pk cosx=0, ale będzie to 0 z minusem, zatem całość do \(\displaystyle{ -\infty}\)?? Czy hospital?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 12:29

Funkcja jest okresowa.
Zajmij się przedziałem np \(\displaystyle{ (-0,5\pi; 0,5\pi)}\) bo w pozostałych (z dziedziny będzie zachowywać się tak samo).

Granice w końcach tego przedziału liczyć normalnie - od razu wychodzą.

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 12:34

Z tego wynika, że funkcja ma asymptotę obustroną, pionową w \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2} \\ y=-\frac{\pi}{2}}\) tak?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 12:36

Nie nazwałbym jej ,,obustronną" ale tak - ma pionowe w końcach przedziałów z dziedziny.

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 12:40

Teraz szukamy asymptot poziomych:

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \cosx\in(-1,1)}\), interesuje nas:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}lim(sup)lncosx=0 \\ \lim_{x \to -\infty}lim(sup)lncosx=0}\)

Zatem ma asymptotę poziomą w punkcie x=0

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 12:48

Zmieniasz post - nie wiem co zostawisz.

Masz z dziedziny \(\displaystyle{ cosx>0}\) (zatem nie może być niedodatni).

Warto wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji.

Wg mnie nie poziomych.

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 12:51

piasek101, możesz pomóc z asymptotach poziomych?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 13:16

Wg mnie ich nie ma.

Funkcja jest okresowa i parzysta.

Zbiór wartości to \(\displaystyle{ (-\infty; 0>}\).

Zero osiąga tam gdzie \(\displaystyle{ cosx=1}\).

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 13:25

Teraz pierwsza pochodna:

\(\displaystyle{ f'(x)=-tgx \\ f'(x)=0 \Rightarrow x=n\pi \\ f'(x)>0 \Rightarrow x\in (-\frac{\pi}{2},0)}\)

i analogicznie <0, ponieważ cały czas musimy znajdować się w dziedzinie?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23177
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3160 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: piasek101 » 20 lip 2011, o 13:30

Tak.
Ale bądź konsekwentny.
Jeśli zawęzimy do tego o czym pisałem - czyli \(\displaystyle{ x\in(-0,5\pi; 0,5\pi)}\) to \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\).

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Przebieg zmienności funkcji z logarytmem

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 13:33

Czyli ostatnia operacja na pierwszej pochodnej:

\(\displaystyle{ -tgx<0 \Rightarrow x\in (0,\frac{\pi}{2})}\)

EDIT:

Przebieg zrobiony, dziękuję

ODPOWIEDZ