Zbieżność ciągów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Zbieżność ciągów

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 09:13

Zbadać zbieżność ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}=\left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)...\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)

Do analizy biorę tylko wyraz ogólny, czyli:

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Zbieżność ciągów

Post autor: ares41 » 20 lip 2011, o 09:21

Wskazówka:
Twój ciąg to:
\(\displaystyle{ a_n= \prod_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{1}{k^2} \right) =\prod_{k=1}^{n}\left( \frac{k^2+1}{k^2} \right)= \frac{\prod_{k=1}^{n}\left(k^2+1\right)}{ \left( n! \right)^2 }}\)

józef92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 660
Rejestracja: 13 gru 2008, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bolesławiec
Podziękował: 263 razy
Pomógł: 3 razy

Zbieżność ciągów

Post autor: józef92 » 20 lip 2011, o 09:27

No i mam sprawdzić teraz czy jest on monotoniczny i ograniczony?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Zbieżność ciągów

Post autor: » 20 lip 2011, o 10:00

Nie wiem jaki pomysł ma ares41, ale ja bym proponował skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) i oszacować każdy składnik:
\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{1^2}\right)\left(1+\frac{1}{2^2}\right)\ldots\left(1+\frac{1}{n^2}\right) \le e^{\frac{1}{1^2}}e^{\frac{1}{2^2}}\ldots e^{\frac{1}{n^2}}=e^{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\ldots +\frac{1}{n^2}}<e^2}\)
Ponieważ nasz ciąg jest też rosnący (co łatwo wykazać badając \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\)), więc musi być zbieżny.

Q.

ODPOWIEDZ