Oblicz wiedząc, że

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 21:22

Oblicz \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{ x^{2} }}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ x^{3}+ \frac{1}{ x^{3} }=110}\).

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: kamil13151 » 19 lip 2011, o 21:30

Pomnóż przez \(\displaystyle{ x^3}\) i zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ t=x^3}\).

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Vax » 19 lip 2011, o 21:33

Albo zauważ, że:

\(\displaystyle{ 110 = x^3+\frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right)}\)

Podstawiając teraz \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\) mamy:

\(\displaystyle{ t^3-3t-110 = 0}\)

Skąd łatwo dostajemy, że jedynym rzeczywistym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=5}\) wtedy:

\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2 = 23}\)
Ostatnio zmieniony 19 lip 2011, o 21:35 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: rozmiar nawiasów

Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 21:35

Możesz to rozpisać? Nie rozumiem:D

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Vax » 19 lip 2011, o 21:37

Ale czego dokładnie ? 1 linijka wynika ze wzoru \(\displaystyle{ (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}\) dalej mamy zwykły wielomian, w którym zauważyłem, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ t=5}\) po podzieleniu przez \(\displaystyle{ t-5}\) otrzymasz trójmian w którym parabola będzie ponad osią OX, stąd jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest \(\displaystyle{ t=5}\) dalej znowu wzory skróconego mnożenia.

Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 21:45

Skąd to t=5 się wzieło?

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Vax » 19 lip 2011, o 21:48

Korzystamy z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu, albo grupujemy:

\(\displaystyle{ t^3-3t-110=0 \Leftrightarrow t^3-5t^2+5t^2-25t+22t-110 = 0 \Leftrightarrow t^2(t-5)+5t(t-5)+22(t-5) = 0 \Leftrightarrow (t-5)(t^2+5t+22)=0 \Leftrightarrow t=5}\)

Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 21:53

Niestety dalej samego końca nie rozumiem:(

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Vax » 19 lip 2011, o 21:57

Wyciągnąłem \(\displaystyle{ (t-5)}\) przed nawias, zauważ, że \(\displaystyle{ ax+ay+az = a(x+y+z)}\), wspólny czynnik można wyciągać przed nawias.

Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 22:01

No tak, ale czemu mnozenie nawiasow=0 a dalej juz t=5, a co pomiedzy?

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Vax » 19 lip 2011, o 22:04

Iloczyn 2 czynników będzie równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest równy 0, drugi czynnik będzie zawsze dodatni, więc dana równość zajdzie wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy z nich będzie równy 0, skąd \(\displaystyle{ t-5 = 0 \Leftrightarrow t=5}\)

Wonk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 2 gru 2010, o 19:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: aaaaaaa

Oblicz wiedząc, że

Post autor: Wonk » 19 lip 2011, o 22:11

Dzięki, już rozumiem

ODPOWIEDZ