[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
satre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 26 mar 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Post autor: satre » 18 lip 2011, o 20:38

Mam problem ze zrozumieniem jednego z rozwiązań.
Otóż w rozwiązaniu zadania 3 z tego rozdziału jest napisane:
\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest rosnąca stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.
Ale przecież w sytuacji kiedy pochodna jest rosnąca oraz mniejsza od zera to \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca, więc twierdzenie to jest nieprawdziwe. Proszę kogoś o pomoc z tym zadaniem bo być może moje rozumowanie jest niepoprawne:)
Z góry dziękuje.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Post autor: szw1710 » 18 lip 2011, o 21:23

\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest rosnąca stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.
Przy jakichś dodatkowych założeniach. Ogólnie z tego, że pochodna rośnie w jakimś przedziale otwartym wynika wypukłość funkcji w tym przedziale.

Z kolei funkcja wypukła ma własność unimodalności: albo jest monotoniczna, albo na lewo od pewnego punktu \(\displaystyle{ x_0}\) dziedziny (przedziału) nierosnąca, a od punktu \(\displaystyle{ x_0}\) niemalejąca. Z wypukłości wynika taka własność, ale w drugą stronę nie. Funkcje spełniające tę odwrotną implikację są quasiwypukłe. Z definicji funkcję rzeczywistą \(\displaystyle{ f}\) określoną na przedziale \(\displaystyle{ I}\) nazywamy quasiwypukłą, jeśli nierówność

\(\displaystyle{ f\left(tx+(1-t)y\right)\le\max\{f(x),f(y)\}}\)

zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in I}\) i dla wszystkich \(\displaystyle{ t\in[0,1].}\)

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Post autor: ordyh » 18 lip 2011, o 21:45

Nie wiem czy nie ma jakiegoś błędu, patrzę na to, ale też nie rozumiem o co chodzi. W każdym razie pierwsza pochodna rośnie, czyli funkcja jest wypukła, więc przyjmuje wartość największą na jednym z krańców przedziału \(\displaystyle{ [0;1]}\), ale czy to jest 0 czy 1 tego nie wiemy, trzeba po prostu wziąć i podstawić.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Post autor: Sylwek » 18 lip 2011, o 21:49

satre pisze:Mam problem ze zrozumieniem jednego z rozwiązań.
Otóż w rozwiązaniu zadania 3 z tego rozdziału jest napisane:
\(\displaystyle{ f'(x)}\) jest rosnąca stąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca.
Ale przecież w sytuacji kiedy pochodna jest rosnąca oraz mniejsza od zera to \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca, więc twierdzenie to jest nieprawdziwe. Proszę kogoś o pomoc z tym zadaniem bo być może moje rozumowanie jest niepoprawne:)
Z góry dziękuje.
Z tego co pamiętam, było w tej książce rozwiązanie pewnej nierówności, które było absolutnie błędne (nie mylić z całą masą literówek w tej pozycji). Jeśli byś przepisał chociaż tę nierówność (prawdopodobnie suma kilku ułamków, zmienne określone na [0,1]), to większa szansa, że mógłbym to skojarzyć (książkę przerabiałem ok. 3 lata temu). Błąd też kojarzę - oczywiście masz rację.

[EDIT]
ordyh pisze:Nie wiem czy nie ma jakiegoś błędu, patrzę na to, ale też nie rozumiem o co chodzi. W każdym razie pierwsza pochodna rośnie, czyli funkcja jest wypukła, więc przyjmuje wartość największą na jednym z krańców przedziału \(\displaystyle{ [0;1]}\), ale czy to jest 0 czy 1 tego nie wiemy, trzeba po prostu wziąć i podstawić.
A być może właśnie to szło w w.w. sposób (a rozwiązanie "całkowicie błędne" odnosi się do innego problemu) - tzn. permutacją dającą maksymalną wartość jest permutacja złożona z pewnej liczby zer i jedynek, co już prosto sprawdzić.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18765
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3728 razy

[Funkcje] KMDO. Jedna własność funkcji a wiele zadań.

Post autor: szw1710 » 18 lip 2011, o 23:48

ordyh pisze:Nie wiem czy nie ma jakiegoś błędu, patrzę na to, ale też nie rozumiem o co chodzi. W każdym razie pierwsza pochodna rośnie, czyli funkcja jest wypukła, więc przyjmuje wartość największą na jednym z krańców przedziału \(\displaystyle{ [0;1]}\), ale czy to jest 0 czy 1 tego nie wiemy, trzeba po prostu wziąć i podstawić.
Dla funkcji jednej zmiennej jest to konsekwencja unimodalności, o której wspomniałem. Takie twierdzenie o przyjmowaniu maksimum jest też prawdziwe dla funkcji wypukłych wielu zmiennych określonych w zbiorze zwartym i wypukłym. Taki zbiór ma tzw. punkty ekstremalne, a maksimum funkcji wypukłej jest przyjmowane w punkcie ekstremalnym (w innym też może być przyjęte).

Punkt ekstremalny zbioru (niekoniecznie wypukłego) - punkt nie leżący "wewnątrz" żadnego odcinka zawartego w tym zbiorze. Słowa "wewnątrz" nie rozumiem tu w sensie topologicznym, ale potocznym (ściśle rzecz biorąc, mam na myśli wnętrze algebraiczne odcinka). Punkty ekstremalne koła domkniętego leżą na ograniczającym je okręgu. Punkty ekstremalne wielokąta to jego wierzchołki. Punkty leżące na bokach wielokąta, ale nie będące wierzchołkami, nie są ekstremalne.

ODPOWIEDZ