IMO 2011

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

IMO 2011

Post autor: ElEski » 21 lip 2011, o 18:16

Swistak pisze:
Inkwizytor pisze:Na IMO życie się nie kończy (ani nie zaczyna).
Nie daję głowy za prawdziwość, ale słyszałem plotę, że kiedyś na IMO znaleziono serbską parę w łóżku, więc z tym zaczynaniem życia, to możesz nie mieć racji

Moje rozwiązanie pierwszego, jakby ktoś nie umiał odczytać tego, co tam Wojtek nabazgrolił - chociaż tutaj też jest mętlik, bo zjadło indeksy dolne przy kopiowaniu.. w każdym razie indeksy dolne to te cyferki, które są po literkach . No, albo ai, aj, Sn. i,j,n to indeksy dolne w tym wypadku.



Dobra para- taka para liczb \(\displaystyle{ ai, aj,}\) że \(\displaystyle{ ai+aj}\) dzieli \(\displaystyle{ Sn}\)
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ a1<a2<a3<a4}\). Pierwsze co zauważamy to to, że pary \(\displaystyle{ a2,a4}\) i \(\displaystyle{ a3,a4}\) nie nadają się do spełnienia warunków na „dobrą parę” w zadaniu, gdyż \(\displaystyle{ a2+a4}\) jest większe niż połowa \(\displaystyle{ Sn,}\)ale mniejsze niż \(\displaystyle{ Sn}\), tak samo \(\displaystyle{ a3+a4.}\)
Zatem każdy zbiór \(\displaystyle{ 4}\) różnych liczb całkowitych będzie zawierał maksymalnie \(\displaystyle{ 4}\) dobre pary. Pokażę, że będą takie, które zawierają \(\displaystyle{ 4}\), np. zbiór liczb \(\displaystyle{ 1,5,7,11.}\) Teraz zadanie prosi nas o to, żeby wyznaczyć wszystkie takie zbiory spełniające warunki zadania, w których będą \(\displaystyle{ 4}\) dobre pary.
Zapiszę podzielności, które muszą zachodzić w takim zbiorze:
1.)\(\displaystyle{ a1+a2}\) dzieli \(\displaystyle{ a3+a4,}\)
2.)\(\displaystyle{ a1+a3}\) dzieli \(\displaystyle{ a2+a4,}\)
3.)\(\displaystyle{ a1+a4}\) dzieli \(\displaystyle{ a2+a3,}\)
4.)\(\displaystyle{ a2+a3}\) dzieli \(\displaystyle{ a1+a4.}\)
Dlaczego tak napisałem? Bo jeśli np. \(\displaystyle{ a1+a2}\) dzieli \(\displaystyle{ Sn}\), to także dzieli \(\displaystyle{ a3+a4,}\)jest to łatwe do zauważenia i równoważne sobie.

No dobra. Co teraz się rzuca w oczy? Podzielność 3) i 4). Aby obie były spełnione, musi być \(\displaystyle{ a1+a4=a2+a3}\), stąd wniosek, ze \(\displaystyle{ a1+x=a2, a3+x=a4}\) (\(\displaystyle{ x}\) to jakaś liczba całkowita dodatnia)
Czyli odstępy między liczbami \(\displaystyle{ a1}\) i \(\displaystyle{ a2}\), a także między liczbami \(\displaystyle{ a3}\) i \(\displaystyle{ a4}\)są równe \(\displaystyle{ x}\) (tak je nazwaliśmy)
Ponadto odstęp między liczbami \(\displaystyle{ a2}\) i \(\displaystyle{ a3}\) nazwę y. \(\displaystyle{ (a2+y=a3)}\)
Uporządkuję to ładnie:
\(\displaystyle{ a1=a1,}\)
\(\displaystyle{ a2=a1+x}\)
\(\displaystyle{ a3=a1+x+y}\)
\(\displaystyle{ a4=a1+2x+y}\)
Ok. Teraz patrzymy na podzielność 2).
Podstawiamy pod \(\displaystyle{ a1, a2, a3, a4}\) te ładne sumki, które przed chwilą napisałem.
Wychodzi: \(\displaystyle{ 2a1+x+y}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 2a1+3x+y.}\)
Stąd także \(\displaystyle{ 2a1+x+y}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ 2x}\). Obie te liczby są dodatnie, a także \(\displaystyle{ 2a1+x+y}\) jest większe niż \(\displaystyle{ x}\), stąd\(\displaystyle{ 2a1+x+y=2x,}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ 2a1+y=x.}\)

Dobra. Teraz patrzymy na podzielność 1).
Tak samo podstawiając jest ona równoważna podzielności:
\(\displaystyle{ 2a1+x}\) dzieli \(\displaystyle{ 2a1+3x+2y.}\)
Stąd \(\displaystyle{ 2a1+x}\) dzieli \(\displaystyle{ 2x+2y.}\) I teraz z pomocą przychodzi nam pogrubiony fakt ( ten, który, jak udowodniliśmy, gdyby nie zachodził, to nieprawdziwa byłaby podzielność 2.))
Rozbijamy \(\displaystyle{ x}\)po prawej i lewej na \(\displaystyle{ 2a1+y.}\)
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ 4a1+y}\) dzieli \(\displaystyle{ 4a1+ 4y,}\)
Czyli \(\displaystyle{ 4a1+y}\) dzieli \(\displaystyle{ 3y.}\) Obie te wartości, składniki wartości itp. Są dodatnie, stąd:
\(\displaystyle{ 4a1=2y}\) ALBO \(\displaystyle{ 8a1=y.}\)
Sprawdzamy pierwszy przypadek, czyli \(\displaystyle{ 4a1=2y.}\)
Wtedy korzystamy z równości: \(\displaystyle{ 4a1=2y, 2a1+y=x.}\) Łatwo z nich wychodzi, że \(\displaystyle{ x=4a1, y=2a1.}\)
Zobaczymy, czy zbiór, który ma \(\displaystyle{ x=4a1, y=2a1}\) posiada \(\displaystyle{ 4}\) dobre pary.
Jest to ciąg: \(\displaystyle{ a1, 5a1, 7a1, 11a1.}\) Łatwo sprawdzić, że dla każdego a1 ten ciąg ma 4 dobre pary.
Sprawdzamy drugi przypadek, czyli \(\displaystyle{ 8a1=y.}\)
Wtedy tak samo dochodzimy, że \(\displaystyle{ y=8a1, x=10a1}\) . Wówczas zbiór wygląda tak: \(\displaystyle{ a1, 11a1, 19a1, 29a1}\). Od razu widać, że tu nie ma \(\displaystyle{ 4}\) dobrych par. (np. \(\displaystyle{ 8a1}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 28a1}\), bo \(\displaystyle{ 8}\) ma większą liczbę dwójek w rozkładzie niż \(\displaystyle{ 28}\)). Zatem wszystkie takie zbiory, dla których liczba dobrych par jest największa to zbiory takie: \(\displaystyle{ a1, 5a1, 7a1, 11a1}\) i \(\displaystyle{ a1, 11a1, 19a1, 29a1}\).

Chyba już nie ma pomyłki

michaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 mar 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

IMO 2011

Post autor: michaj » 21 lip 2011, o 20:46

Wyniki zaraz po ostatniej koordynacji:
POL1 (Borowiec): 707771, 29
POL2 (Ciesla): 500720, 14
POL3 (Duleba): 702761, 23
POL4 (Jerzak): 707770, 28
POL5 (Orlef): 710770, 22
POL6 (Porowski): 401771, 20

Swistak pisze:
Inkwizytor pisze:Na IMO życie się nie kończy (ani nie zaczyna).
Nie daję głowy za prawdziwość, ale słyszałem plotę, że kiedyś na IMO znaleziono serbską parę w łóżku, więc z tym zaczynaniem życia, to możesz nie mieć racji
Dokladnie byla to serbka i grek, w Madrycie, 3 lata temu. Ale ponoc serbska ekipa zaraz po wyladowaniu pytala sie guida o prezerwatywy, wiec o zaczynaniu zycia pewnie nie bylo mowy

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

IMO 2011

Post autor: Swistak » 21 lip 2011, o 22:47

michaj pisze: POL5 (Orlef): 710770, 22
Jest szansa, że Damian w końcu urwie to nieosiągalne srebro!

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

IMO 2011

Post autor: Marcinek665 » 21 lip 2011, o 22:55

Jest szansa, że Wojtek za rok w końcu urwie to nieosiągalne IMO!

michaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 mar 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

IMO 2011

Post autor: michaj » 22 lip 2011, o 09:55

Progi:
zloto 28
srebro 22
braz 16

Tym samym:
Filip i Teodor maja zloto, Damian i Maciek srebro, Wojtek braz i Tomek wzmianka

Druzynowo 136 punktow, 15 miejsce ex aequo z Ukraina.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

IMO 2011

Post autor: Sylwek » 22 lip 2011, o 10:13

Wielkie słowa uznania dla całej ekipy, w szczególności dla zdobywców najcenniejszych medali

Wyniki: http://official.imo2011.nl/year_individ ... ?year=2011

ElEski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 304
Rejestracja: 22 maja 2010, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 12 razy

IMO 2011

Post autor: ElEski » 22 lip 2011, o 10:29

Brawo dla całej ekipy!
Całkiem ładnie Wam poszło!

A propos, Lisa Sauermann nieźle pojechała
Też chcę mieć 5 medali!

MateuszL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 61
Rejestracja: 1 lis 2009, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gryfice
Pomógł: 3 razy

IMO 2011

Post autor: MateuszL » 22 lip 2011, o 11:59

Wielkie, wielkie gratulacje dla wszystkich, a szczególne dla Jeżozwierza, bo pamiętam jeszcze jak pisał, że nie szły mu zadania z pierwszej serii OMa dwa lata temu

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

IMO 2011

Post autor: Funktor » 22 lip 2011, o 12:05

ElEski, Biorąc pod uwagę twój wiek to masz szanse pobić jej wynik ;] Ciekawe czy IMC-a też tak wykosi ;]

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

IMO 2011

Post autor: bakala12 » 22 lip 2011, o 12:31

Również gratuluję całej polskiej delegacji na IMO i życzę jak najwięcej tak wybitnych osiągnięć.

Awatar użytkownika
me123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 14 paź 2008, o 14:46
Płeć: Kobieta
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

IMO 2011

Post autor: me123 » 22 lip 2011, o 12:34

również przyłączam się do gratulacji:)
MateuszL pisze:Wielkie, wielkie gratulacje dla wszystkich, a szczególne dla Jeżozwierza, bo pamiętam jeszcze jak pisał, że nie szły mu zadania z pierwszej serii OMa dwa lata temu
to możliwe? w tak krótkim czasie takie wyniki?

Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

IMO 2011

Post autor: adamm » 22 lip 2011, o 13:06

Serdeczne gratulacje dla całej szóstki. W przyszłym roku zanosi się chyba na niezgorszy sukces, trójka medalistów ma jeszcze jeden start.

Awatar użytkownika
Myrthan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 16 kwie 2010, o 21:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bliżej niż myślisz
Pomógł: 3 razy

IMO 2011

Post autor: Myrthan » 22 lip 2011, o 13:28

Gratz dla całej naszej ekipy.

Singapur zaskoczył, zważywszy że tam też mają wszyscy jeden start jeszcze to mogą znów bić się o czołówkę.

AVquiraniel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 19 sty 2008, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

IMO 2011

Post autor: AVquiraniel » 22 lip 2011, o 14:05

Gratulacje, szczególnie dla Filipa i Jerza.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

IMO 2011

Post autor: Swistak » 22 lip 2011, o 15:17

Wielkie gratulacje dla wszystkich, których satysfakcjonuje ich wynik (czyli na pewno dla Filipa, Jerza, a na pewno nie dla Tomka ; p).

Swoją drogą jak wszedłem na mathlinksa, to i przeleciałem temat o zad. 5, to zauważyłem, że wszystkie rozwiązania tam są kompletnie inne od mojego! Tamte rozwiązania nie mówią prawie nic o wyglądzie tej funkcji, natomiast moje mówi wszystko .

-- 22 lipca 2011, 15:19 --
me123 pisze:również przyłączam się do gratulacji:)
MateuszL pisze:Wielkie, wielkie gratulacje dla wszystkich, a szczególne dla Jeżozwierza, bo pamiętam jeszcze jak pisał, że nie szły mu zadania z pierwszej serii OMa dwa lata temu
to możliwe? w tak krótkim czasie takie wyniki?
Jest możliwe, bo zobaczcie, kto jest na 55 miejscu: http://www.omg.edu.pl/omg4.php (2 lata temu).-- 22 lipca 2011, 16:54 --Mimo tego, że ustaję, że jednak z moich zdjęć można przeczytać całkiem sporo, to jednak już któraś osoba mówi mi, że nie da się przeczytać nic, zatem normalnie napiszę swoje rozw. zad. 5 i może jeszcze potem zad. 3.
zad. 5 - niestandardowy sposób, który mówi wszystko o wyglądzie tej funkcji:    

ODPOWIEDZ