Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
Czy można to zadanie tak rozwiązać?
Skoro w każdym podpunkcie pojawia się \(\displaystyle{ \exists_{z \in \mathbb {R}}\forall_{t \in \mathbb {R}}}\), to możemy je usunąć z każdych podpunktów i wtedy otrzymujemy:
a)\(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to prawda, bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) znajdziemy \(\displaystyle{ y}\), np. \(\displaystyle{ y=x^2+1}\), takie że \(\displaystyle{ y>x^2}\) (bo wtedy mamy \(\displaystyle{ x^2+1>x^2 \Rightarrow 1>0}\), prawda).
b) \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ 0>x^2}\), a takiego \(\displaystyle{ x}\) nie znajdziemy
c) \(\displaystyle{ \exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo nie znajdziemy takiego \(\displaystyle{ y}\), żeby dla każdego \(\displaystyle{ x}\) to zachodziło
d) \(\displaystyle{ \exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo jeżeli taki \(\displaystyle{ x}\) by istniał, to by musiało to zachodzić również dla np. \(\displaystyle{ y=-5}\), ale wtedy mielibyśmy, że \(\displaystyle{ -5>x^2}\), a to jest nieprawda
fałsz czy prawda
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
fałsz czy prawda
Nie rozumiem, dlaczego usunęłaś dwa kwantyfikatory.
Pierwsze zdanie mówi tyle: dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy liczby \(\displaystyle{ y, \ z}\) tak, by nierówność była prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t}\).
To teraz tak:
Niech \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\). Wystarczy, że dla każdego takiego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=0 \\ y=x^2+1 \end{cases}}\)
Otrzymamy wtedy nierówność:
\(\displaystyle{ t^2+x^2+1>x^2 \ \Leftrightarrow \ t^2>-1}\)
Widać, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).
Ja bym w ten sposób rozwiązał te przykłady i nie pomijał (nie wiedzieć czemu) żadnych kwantyfikatorów.
Pierwsze zdanie mówi tyle: dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy liczby \(\displaystyle{ y, \ z}\) tak, by nierówność była prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t}\).
To teraz tak:
Niech \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\). Wystarczy, że dla każdego takiego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=0 \\ y=x^2+1 \end{cases}}\)
Otrzymamy wtedy nierówność:
\(\displaystyle{ t^2+x^2+1>x^2 \ \Leftrightarrow \ t^2>-1}\)
Widać, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).
Ja bym w ten sposób rozwiązał te przykłady i nie pomijał (nie wiedzieć czemu) żadnych kwantyfikatorów.
fałsz czy prawda
Więc:
b) Ma to zachodzić dla każdego y i t, więc np. mamy y=-2, t=0. Wtedy \(\displaystyle{ -2>x^2+z^2}\), a jest to sprzeczność, bo nie znajdziemy takich x i z, zatem fałsz.
Czy dobrze myślę?
I jak można pokazać, że c) i d) są fałszywe?
b) Ma to zachodzić dla każdego y i t, więc np. mamy y=-2, t=0. Wtedy \(\displaystyle{ -2>x^2+z^2}\), a jest to sprzeczność, bo nie znajdziemy takich x i z, zatem fałsz.
Czy dobrze myślę?
I jak można pokazać, że c) i d) są fałszywe?
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
fałsz czy prawda
Dobrze. Można pokazać, że zaprzeczenia tych zdań są prawdziwe. Tak naprawdę w ten sposób udowodniłaś fałszywość zdania b).
-- 19 lipca 2011, 16:15 --
Pokazałaś, że \(\displaystyle{ \exists y \in \mathbb{R}: \quad \forall x,z \in \mathbb{R} \quad \exists t \in \mathbb{R}: \quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
-- 19 lipca 2011, 16:15 --
Pokazałaś, że \(\displaystyle{ \exists y \in \mathbb{R}: \quad \forall x,z \in \mathbb{R} \quad \exists t \in \mathbb{R}: \quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
fałsz czy prawda
No to w takim razie, czy można w ten sposób pokazać, że zaprzeczenia c) i d) są prawdziwe?
c) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\exists_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) weźmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{y}}\) i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i jest to prawdą dla każdego \(\displaystyle{ z}\).
Dla \(\displaystyle{ y<0}\) weźmy x=z i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ y \le 2z^2}\) i jest to prawdą dla każdego z.
d) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\exists_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Weźmy \(\displaystyle{ y=x^2}\) i t=0 i wówczas mamy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i to jest prawdą dla każdego \(\displaystyle{ z}\).
c) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall_{y \in \mathbb {R}}\exists_{x \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\exists_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) weźmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{y}}\) i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i jest to prawdą dla każdego \(\displaystyle{ z}\).
Dla \(\displaystyle{ y<0}\) weźmy x=z i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ y \le 2z^2}\) i jest to prawdą dla każdego z.
d) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall_{x \in \mathbb {R}}\exists_{y \in \mathbb {R}}\forall_{z \in \mathbb {R}}\exists_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Weźmy \(\displaystyle{ y=x^2}\) i t=0 i wówczas mamy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i to jest prawdą dla każdego \(\displaystyle{ z}\).