fałsz czy prawda

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

fałsz czy prawda

Post autor: BlueSky » 18 lip 2011, o 15:49

Czy jest prawdą, że:
a) \(\displaystyle{ \forall\limits_{x \in \mathbb {R}}\exists\limits_{y \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\forall\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
b) \(\displaystyle{ \forall\limits_{y \in \mathbb {R}}\exists\limits_{x \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\forall\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
c) \(\displaystyle{ \exists\limits_{y \in \mathbb {R}}\forall\limits_{x \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\forall\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)
d) \(\displaystyle{ \exists\limits_{x \in \mathbb {R}}\forall\limits_{y \in \mathbb {R}}\exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\forall\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2>x^2+z^2}\)

Czy można to zadanie tak rozwiązać?

Skoro w każdym podpunkcie pojawia się \(\displaystyle{ \exists\limits_{z \in \mathbb {R}}\forall\limits_{t \in \mathbb {R}}}\), to możemy je usunąć z każdych podpunktów i wtedy otrzymujemy:

a)\(\displaystyle{ \forall\limits_{x \in \mathbb {R}}\exists\limits_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to prawda, bo dla każdego \(\displaystyle{ x}\) znajdziemy \(\displaystyle{ y}\), np. \(\displaystyle{ y=x^2+1}\), takie że \(\displaystyle{ y>x^2}\) (bo wtedy mamy \(\displaystyle{ x^2+1>x^2 \Rightarrow 1>0}\), prawda).

b) \(\displaystyle{ \forall\limits_{y \in \mathbb {R}}\exists\limits_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ 0>x^2}\), a takiego \(\displaystyle{ x}\) nie znajdziemy

c) \(\displaystyle{ \exists\limits_{y \in \mathbb {R}}\forall\limits_{x \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo nie znajdziemy takiego \(\displaystyle{ y}\), żeby dla każdego \(\displaystyle{ x}\) to zachodziło

d) \(\displaystyle{ \exists\limits_{x \in \mathbb {R}}\forall\limits_{y \in \mathbb {R}}\quad y>x^2}\) i jest to fałsz, bo jeżeli taki \(\displaystyle{ x}\) by istniał, to by musiało to zachodzić również dla np. \(\displaystyle{ y=-5}\), ale wtedy mielibyśmy, że \(\displaystyle{ -5>x^2}\), a to jest nieprawda

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

fałsz czy prawda

Post autor: Majeskas » 18 lip 2011, o 17:58

Nie rozumiem, dlaczego usunęłaś dwa kwantyfikatory.

Pierwsze zdanie mówi tyle: dla każdego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy liczby \(\displaystyle{ y, \ z}\) tak, by nierówność była prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t}\).

To teraz tak:

Niech \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\). Wystarczy, że dla każdego takiego \(\displaystyle{ x}\) dobierzemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=0 \\ y=x^2+1 \end{cases}}\)

Otrzymamy wtedy nierówność:

\(\displaystyle{ t^2+x^2+1>x^2 \ \Leftrightarrow \ t^2>-1}\)

Widać, że ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\).

Ja bym w ten sposób rozwiązał te przykłady i nie pomijał (nie wiedzieć czemu) żadnych kwantyfikatorów.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

fałsz czy prawda

Post autor: BlueSky » 19 lip 2011, o 16:08

Więc:
b) Ma to zachodzić dla każdego y i t, więc np. mamy y=-2, t=0. Wtedy \(\displaystyle{ -2>x^2+z^2}\), a jest to sprzeczność, bo nie znajdziemy takich x i z, zatem fałsz.
Czy dobrze myślę?

I jak można pokazać, że c) i d) są fałszywe?

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

fałsz czy prawda

Post autor: Majeskas » 19 lip 2011, o 16:13

Dobrze. Można pokazać, że zaprzeczenia tych zdań są prawdziwe. Tak naprawdę w ten sposób udowodniłaś fałszywość zdania b).

-- 19 lipca 2011, 16:15 --

Pokazałaś, że \(\displaystyle{ \exists y \in \mathbb{R}: \quad \forall x,z \in \mathbb{R} \quad \exists t \in \mathbb{R}: \quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

fałsz czy prawda

Post autor: BlueSky » 19 lip 2011, o 16:50

No to w takim razie, czy można w ten sposób pokazać, że zaprzeczenia c) i d) są prawdziwe?
c) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall\limits_{y \in \mathbb {R}}\exists\limits_{x \in \mathbb {R}}\forall\limits_{z \in \mathbb {R}}\exists\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) weźmy \(\displaystyle{ x=\sqrt{y}}\) i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i jest to prawdą dla każdego z.
Dla \(\displaystyle{ y<0}\) weźmy x=z i t=0, wówczas po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ y \le 2z^2}\) i jest to prawdą dla każdego z.

d) zaprzeczenie: \(\displaystyle{ \forall\limits_{x \in \mathbb {R}}\exists\limits_{y \in \mathbb {R}}\forall\limits_{z \in \mathbb {R}}\exists\limits_{t \in \mathbb {R}}\quad y+t^2 \le x^2+z^2}\)
Weźmy \(\displaystyle{ y=x^2}\) i t=0 i wówczas mamy \(\displaystyle{ z^2 \ge 0}\) i to jest prawdą dla każdego z.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

fałsz czy prawda

Post autor: Majeskas » 19 lip 2011, o 17:05

Dokładnie,

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

fałsz czy prawda

Post autor: BlueSky » 19 lip 2011, o 17:13

Super. Dzięki bardzo

ODPOWIEDZ