podpierścienie pierścienia wielomianów

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

podpierścienie pierścienia wielomianów

Post autor: BlueSky » 18 lip 2011, o 13:09

Czy podany zbiór jest podpierścieniem pierścienia wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych
a) zbiór wielomianów stopnia nie większego niż 6,
b) zbiór wielomianów będących funkcjami nieparzystymi,
c) zbiór wielomianów stopnia nie większego niż 5,
d) zbiór wielomianów będących funkcjami parzystymi?

Czy to zadanie można rozwiązać w ten sposób?

a) nie, ponieważ ten zbiór nie jest zamknięty na mnożenie; jeżeli pomnożymy wielomian stopnia np. 5 przez wielomian stopnia np. 6, to otrzymamy wielomian stopnia 11, a on nie należy do naszego zbioru,

c) nie (argumetacja podobna j.w.), zbiór nie jest zamknięty na mnożenie; jeżeli pomnożymy wielomian stopnia np. 3 przez wielomian stopnia np. 4, to otrzymamy wielomian stopnia 7, a on nie należy do naszego zbioru,

b) nie, ten zbiór również nie jest zamknięty na mnożenie; kontrprzykład: \(\displaystyle{ f(x)=x^7+6x^5, g(x)=2x^3+x}\), są to funkcje nieparzyste, ale \(\displaystyle{ f(x) \cdot g(x)=2x^{10}+13x^8+6x^6}\) jest funkcją parzystą, czyli nie należy do naszego zbioru,

d) tak, ten zbiór jest pierścieniem względem działań dodawania i mnożenia, ograniczonym do tego zbioru (suma i iloczyn funkcji parzystych jest funkcją parzystą), elementem neutralnym mnożenia w pierścieniu jest \(\displaystyle{ f(x)=1}\) i jest to funkcja parzysta

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18773
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3733 razy

podpierścienie pierścienia wielomianów

Post autor: szw1710 » 18 lip 2011, o 19:49

Argumentacja poprawna. Odnośnie d) zamiast sumy raczej chodzi o różnicę, bo ze względu na dodawanie ma to być podgrupa. Ale w tym przypadku to szczegół, gdyż po pomnożeniu przez stałą funkcja pozostaje parzysta. Pierścień to coś takiego: grupa addytywna i półgrupa multyplikatywna. Podpółgrupa multyplikatywna - zamknięta ze względu na iloczyny. Pogdrupa addytywna - zamknięta ze względu na różnice.

BlueSky
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 224
Rejestracja: 11 cze 2011, o 20:27
Płeć: Kobieta
Podziękował: 31 razy

podpierścienie pierścienia wielomianów

Post autor: BlueSky » 18 lip 2011, o 22:11

Dzięki za odp.

ODPOWIEDZ