Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Linkas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 10 lis 2009, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"

Post autor: Linkas » 17 lip 2011, o 12:04

Witam
Muszę obliczyć granicę nstępującego ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n ^{2} +2n + 4 }{n ^{2} +2} \right) ^{ \sqrt{n ^{2}+1 } }}\)
Wynikiem jest (wg maximy)
\(\displaystyle{ e ^{2}}\)
Więc chcę przekształcić wyrażenie do postaci:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2n}}\)
Dochodzę do takiego momentu i dalej nie mam pomysłu jak to przekształcić:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{\sqrt{n ^{2}+1 }}}\)

Proszę o stosunkowo długie rozpisanie tego przekształcenia.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 12:41

Więc chcę przekształcić wyrażenie do postaci:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2n}}\)
To nie musi być taka postać i takiej tu nie otrzymasz. Tak naprawdę:

\(\displaystyle{ \forall \left( a_n\right) \quad a_n \rightarrow 0 \Rightarrow \left( 1+a_n\right) ^{ \frac{1}{a_n} } \rightarrow e}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{\sqrt{n ^{2}+1 }}=\left(\left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{ \frac{n^2+2}{2n+2} } \right) ^{ \frac{2n+2}{n^2+2} \cdot \sqrt{n^2+1} }}\)

Linkas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 10 lis 2009, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"

Post autor: Linkas » 17 lip 2011, o 13:07

Dzięki. Rzeczywiście niepotrzebnie uczepiłem się tej jednej wersji.

ODPOWIEDZ