Witam
Muszę obliczyć granicę nstępującego ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n ^{2} +2n + 4 }{n ^{2} +2} \right) ^{ \sqrt{n ^{2}+1 } }}\)
Wynikiem jest (wg maximy)
\(\displaystyle{ e ^{2}}\)
Więc chcę przekształcić wyrażenie do postaci:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2n}}\)
Dochodzę do takiego momentu i dalej nie mam pomysłu jak to przekształcić:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{\sqrt{n ^{2}+1 }}}\)
Proszę o stosunkowo długie rozpisanie tego przekształcenia.
Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"
-
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"
To nie musi być taka postać i takiej tu nie otrzymasz. Tak naprawdę:Więc chcę przekształcić wyrażenie do postaci:
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2n}}\)
\(\displaystyle{ \forall \left( a_n\right) \quad a_n \rightarrow 0 \Rightarrow \left( 1+a_n\right) ^{ \frac{1}{a_n} } \rightarrow e}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{\sqrt{n ^{2}+1 }}=\left(\left( 1+ \frac{2n+2}{n ^{2}+2 } \right) ^{ \frac{n^2+2}{2n+2} } \right) ^{ \frac{2n+2}{n^2+2} \cdot \sqrt{n^2+1} }}\)
Wyznaczyć granicę ciągu- trzeba dopatrzyć się wzoru na "e"
Dzięki. Rzeczywiście niepotrzebnie uczepiłem się tej jednej wersji.