nierówności i równania kwadratowe

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Zielony_Kapelusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Zielony_Kapelusz » 17 lip 2011, o 10:23

1.Nierówność z parametrem m \(\displaystyle{ -5x{^2}+(2m-2)x+m{^2}+1 \ge 0}\) jest spełniona dla wszystkich x rzeczywistych jeśli parametr m.....
2. Jeśli k jest dowolną liczbą całkowitą to pierwiastki równania \(\displaystyle{ x{^2}+kx+k-1=0}\) są z pewnością liczbami..
3.pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x{^2}-123456789x+123456788=0}\) są...
4.Równanie kwadratowe \(\displaystyle{ (k+1)x{^2}+(k{^5}-k{^4}+k-3)x+k{^2}-1=0}\) z parametrem k , ma dwa pierwiastki z których jeden jest odwrotnością drugiego. w takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy..............
5.Równanie \(\displaystyle{ x{^2}+bx+c=0}\) ma dwa różne pierwiastki ujemne.Wtedy współczynnik c jest....

Proszę o pomoc..

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2823
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 354 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Afish » 17 lip 2011, o 11:01

1. Spróbuj to narysować.
2. Oblicz pierwiastki.
3. Jak w drugim.
4. Jakie warunki należy nałożyć na pierwiastki zgodnie z treścią zadania?
5. Na przykład wzory Viete'a.

Zielony_Kapelusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Zielony_Kapelusz » 17 lip 2011, o 14:22

2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera

dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: piti-n » 17 lip 2011, o 14:24

1. Kiedy parabola będzie zawsze ponad osią OX?-- 17 lip 2011, o 14:26 --PS: tam na pewno jest -5, a nie 5?

Zielony_Kapelusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 12 cze 2011, o 10:04
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Zielony_Kapelusz » 17 lip 2011, o 14:29

właśnie -5 i dlatego mi nie wychodzą żadne pierwiastki.
Zeby parabola była ponad delta musi byc mniejsza od zera

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: piti-n » 17 lip 2011, o 14:32

No i \(\displaystyle{ a>0}\), stąd to moje pytanie. Jak dla mnie to zadanie albo zawiera błąd

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 17:18

Jeśli nie ma błędu, to w 1 \(\displaystyle{ m \in \emptyset}\)
Zielony_Kapelusz pisze:2.całkowitymi
3. 1 i 123456788
4. 15
5. większy od zera

dobrze?
i proszę o pomoc przy pierwszym bo nie mam pojęcia jak je zrobić..
Wszystkie odpowiedzi są ok.

Awatar użytkownika
piti-n
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 534
Rejestracja: 24 gru 2010, o 22:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wroclaw
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 45 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: piti-n » 17 lip 2011, o 18:02

Faktycznie. Nie przewidziałem takiej możliwości. Głupi bład

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: kamil13151 » 17 lip 2011, o 19:03

2. Jak to łatwo rozwiązać? Matematycznie oczywiście Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?

Zrobiłem to indukcyjnie, dobrze?
Ukryta treść:    
3. Tw. Bezouta, łatwo wpaść, że jednym z pierwiastków jest jedynka i potem wystarczy podzielić wielomian i już mamy drugi. Raczej nie mieliście na myśli obliczania x1, x2?
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 19:17 przez kamil13151, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Vax » 17 lip 2011, o 19:16

No trochę nie tak, bo wychodzi na to, że udowodniłeś dla k naturalnych dodatnich (sprawdzasz, że działa dla \(\displaystyle{ k=1}\), zakładasz, że działa dla pewnego k i dowodzisz dla \(\displaystyle{ k+1}\), to będzie działało dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ k \ge 1}\), jeżeli się upierasz przy indukcji, to możesz sprawdzić dla \(\displaystyle{ k=0}\) i potem pokazać \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1) \wedge T(-k) \Rightarrow T(-k-1)}\)) jednak wystarczy tylko zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{-k\pm \sqrt{k^2-4k+4}}{2} = \frac{-k \pm |k-2|}{2} (*) \\ \\ (*) = \frac{-k+k-2}{2} = -1 \vee (*) = \frac{-k-k+2}{2} = -k+1}\)
co będzie całkowite dla dowolnego całkowitego k.
Co do 3 to \(\displaystyle{ x^2-123456789x+123456788 = (x-1)(x-123456788)}\)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: kamil13151 » 17 lip 2011, o 19:30

No to trzeba będzie kiedyś usiąść do tej indukcji, bo słabiutko u mnie z nią, a może się przydać na maturze . Dzięki

Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy
Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Vax » 17 lip 2011, o 21:00

kamil13151 pisze:Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
Tak (oczywiście dla liczb wymiernych, dla rzeczywistych nie działa), dowód można łatwo przeprowadzić nie wprost, załóżmy, że założenia spełnia jedna liczba całkowita i jedna wymierna niecałkowita, niech \(\displaystyle{ x = a , a\in \mathbb{Z} \wedge y = \frac{p}{q} , (p,q)=1}\) wówczas z założenia mamy \(\displaystyle{ x+y = k , k\in \mathbb{Z} \Rightarrow a+\frac{p}{q} = k \Leftrightarrow \frac{p}{q} = k-a}\) sprzeczność, ponieważ po lewej mamy liczbę niecałkowitą, a po prawej całkowitą. Sprawdźmy teraz przypadek, kiedy obie liczby są wymierne niecałkowite, niech:

\(\displaystyle{ x = \frac{a}{b} , (a,b)=1 \wedge y = \frac{c}{d} , (c,d)=1}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ |b| \ge 2 \wedge |d| \ge 2}\) z założenia mamy:

\(\displaystyle{ x+y = \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{Z}}\) czyli w szczególności musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} ad+bc \equiv 0\pmod{b} \\ ad+bc \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ad \equiv 0\pmod{b}/:a \\ bc \equiv 0 \pmod{d}/:c \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d \equiv 0 \pmod{b}\\ b \equiv 0\pmod{d} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=k_1b \\ b=k_2d \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ k_1 , k_2 \in \mathbb{Z} \setminus \lbrace 0\rbrace}\), podnosząc dane równania do kwadratu i dodając obustronnie otrzymujemy:

\(\displaystyle{ b^2+d^2 = k_1^2b^2+k_2^2d^2 \Leftrightarrow b^2(k_1^2-1)+d^2(k_2^2-1) = 0 \Rightarrow k_1^2=1 \wedge k_2^2=1}\)

Z tego dostajemy \(\displaystyle{ b=d \vee b=-d}\) ale wtedy:

\(\displaystyle{ x\cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{\pm b^2}}\) co nie może być całkowite, ponieważ \(\displaystyle{ (a,\pm b)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (c,\pm b) = (c,\pm d) = 1}\) więc licznik jest względnie pierwszy z mianownikiem, czyli podsumowując jeżeli suma i iloczyn 2 liczb jest całkowity, to te 2 liczby są całkowite.
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 21:08 przez Vax, łącznie zmieniany 1 raz.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: Majeskas » 17 lip 2011, o 21:07


Jeszcze mnie trapi:
Jeśli suma i iloczyn pierwiastków jest liczbą całkowitą to oznacza, że rozwiązania też są takowymi liczbami?
Nie. Oto kontrprzykład:

\(\displaystyle{ x^2-2x-1=0}\)

\(\displaystyle{ x_1=1- \sqrt{2}\\x_2=1+ \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=2 \in \mathbb{Z} \\ x_1x_2=-1\in \mathbb{Z} \\ x_1, \ x_2 \not\in \mathbb{Z} \end{cases}}\)
takim przypadku współczynnik przy zmiennej x w pierwszej potędze jest równy
Tu chodzi o współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ x}\)? Trochę mi zamieszali .
\(\displaystyle{ x}\) w pierwszej potędze to \(\displaystyle{ x^1=x}\)

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

nierówności i równania kwadratowe

Post autor: kamil13151 » 18 lip 2011, o 11:48

Dzięki Vax i Majeskas .

ODPOWIEDZ