Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
piotrek3311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 lip 2011, o 23:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: piotrek3311 » 17 lip 2011, o 00:01

Czy wyrażenie jak poniżej da się uprościć/ zapisać w bardziej eleganckiej formie?

\(\displaystyle{ A\sin^{2}(x)+B\cos^{2}(x)}\)
Ostatnio zmieniony 19 lip 2011, o 13:25 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa nazwy tematu.

miodzio1988

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: miodzio1988 » 17 lip 2011, o 00:06

A co jest nieeleganckiego w tej formie?

Awatar użytkownika
cosinus90
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: cosinus90 » 17 lip 2011, o 00:06

Możesz z jedynki zamienić jedną z funkcji, a następnie odpowiednio wyłączyć przed nawias, jeśli Cię to satysfakcjonuje.
Generalnie słowo "elegancki" jest stosunkowo względne, ja bym zostawił tak jak jest

piotrek3311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 lip 2011, o 23:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: piotrek3311 » 17 lip 2011, o 09:43

miodzio1988 pisze:A co jest nieeleganckiego w tej formie?
cosinus90 pisze: Generalnie słowo "elegancki" jest stosunkowo względne, ja bym zostawił tak jak jest
Wyraziłem się nieprecyzyjnie. Eleganckie do mojego zastosowania .

Wydaje mi się że ten wzór można sprowadzić do jedynki poprzez narzucenie odpowiednich warunków na A i B. W głowie mam mglistą postać wyrażenia (chyba w mianowniku suma kwadratów A i B) i wiem że widziałem gdzieś jakiś prosty dowód. Niestety od upałów mam chyba amnezje. Kojarzy ktoś taki wzorek?

Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 427 razy

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: Inkwizytor » 17 lip 2011, o 10:24

Mozna tak:

\(\displaystyle{ A\sin^{2}(x)+B\cos^{2}(x) = \\ = A\sin^{2}(x)+ A\cos^{2}(x) + (B-A)\cos^{2}(x) = A+ ... \\ = B\sin^{2}(x)+ B\cos^{2}(x) + (A-B)\sin^{2}(x) = B+ ... \\}\)

piotrek3311
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 lip 2011, o 23:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: piotrek3311 » 19 lip 2011, o 13:19

To może zadam pytanie inaczej. Jaki warunek muszą spełniać A i B żeby zachodził wzór:

\(\displaystyle{ A\sin^{2}(x)+B\cos^{2}(x)=1}\)

poza trywialnym \(\displaystyle{ A=B=1}\)?

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Uproszczenie wyrażenia z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: » 19 lip 2011, o 13:22

Jeśli masz na myśli równość tożsamościową (tzn. dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\)), to ten wzór zachodzi wyłącznie dla \(\displaystyle{ A=B=1}\), co łatwo wywnioskować z rachunków Inkwizytora.

Q.

ODPOWIEDZ